Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries! A questão pede para a gente descobrir se a série converge e, se sim, qual é a sua soma. Para isso, vamos usar conceitos básicos de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, percebemos que a série apresentada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde:
é o primeiro termo da série.
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, reescrevendo a série para ficar no padrão:
Aqui, (quando , o termo é ) e .
Passo 3
Agora, para saber se a série converge, precisamos verificar o valor de . Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão . Se isso acontecer, a soma da série é dada por .
No nosso caso, , então . Isso significa que a série converge.
Passo 4
Como a série converge, vamos calcular a sua soma usando a fórmula da série geométrica: