Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma. sumn=1^infty(-34)^k-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries! A questão pede para a gente descobrir se a série sumn=1^infty(-34)^n-1 converge e, se sim, qual é a sua soma. Para isso, vamos usar conceitos básicos de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, percebemos que a série apresentada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral sumn=0^infty ar^n, onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, reescrevendo a série para ficar no padrão:
sumn=1^infty(-34)^n-1 = sumn=0^infty(-34)^n
Aqui, a = 1 (quando n=0, o termo é (-34)^0 = 1) e r = -34.

Passo 3

Agora, para saber se a série converge, precisamos verificar o valor de r. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão |r| < 1. Se isso acontecer, a soma da série é dada por a1 - r.
No nosso caso, r = -34, então |r| = |-34| = 34 < 1. Isso significa que a série converge.

Passo 4

Como a série converge, vamos calcular a sua soma usando a fórmula da série geométrica:
S = a1 - r
Substituindo os valores que temos:
S = 11 - (-34) = 11 + 34 = 174 = 47

Resposta

A série converge e a sua soma é 47.

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