Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma. sumn=1^infty(4^n-3^n6^n);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série sumn=1^infty(4^n-3^n6^n) converge e, se sim, encontrar a soma dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que são séries do tipo sumn=1^infty ar^n, onde a é o termo inicial e r é a razão. Precisamos identificar se conseguimos reescrever a série dada como uma combinação de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, bora simplificar a expressão dentro da soma. A gente tem 4^n - 3^n6^n, que pode ser dividido em duas frações:
4^n6^n - 3^n6^n
Isso fica igual a:
(46)^n - (36)^n
Simplificando as frações:
(23)^n - (12)^n

Passo 3

Agora, a série original se transforma em duas séries geométricas separadas:
sumn=1^infty (23)^n - sumn=1^infty (12)^n
Sabemos que uma série geométrica sumn=1^infty r^n converge se o valor absoluto de r for menor que 1, e a soma dela é dada por:
sumn=1^infty r^n = r1 - r

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula nas duas séries:
Para sumn=1^infty (23)^n:
231 - 23 = 2313 = 2
Para sumn=1^infty (12)^n:
121 - 12 = 1212 = 1

Resposta

A série converge e a soma dela é 1.

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