Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série
converge e, se sim, encontrar a soma dela. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que são séries do tipo
, onde
é o termo inicial e
é a razão. Precisamos identificar se conseguimos reescrever a série dada como uma combinação de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, bora simplificar a expressão dentro da soma. A gente tem
, que pode ser dividido em duas frações:
Isso fica igual a:
Simplificando as frações:
Passo 3
Agora, a série original se transforma em duas séries geométricas separadas:
Sabemos que uma série geométrica
converge se o valor absoluto de
for menor que 1, e a soma dela é dada por:
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula nas duas séries:
Para
:
Para
:
Resposta
A série converge e a soma dela é
.