Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma. sumn=1^infty (-2)^n 43^n+1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série infinita sumn=1^infty (-2)^n cdot 43^n+1 converge ou não. Se ela convergir, também vamos descobrir qual é a soma dela. Vamos usar o conteúdo de séries geométricas e verificar os critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco essa expressão para entender melhor o tipo de série com que estamos lidando. A expressão geral da série é (-2)^n cdot 43^n+1. Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
(-2)^n cdot 43^n+1 = 43 cdot (-23)^n

Passo 3

Agora, fica mais claro que estamos lidando com uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
sumn=0^infty ar^n
onde a é o primeiro termo e r é a razão comum entre os termos.

Passo 4

Comparando com a nossa série, podemos identificar:
a = 43 e r = -23

Passo 5

Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão r deve ser menor que 1, ou seja, |r| < 1. Vamos verificar:
| -23 | = 23 < 1
Como |r| é menor que 1, sabemos que a série converge.

Passo 6

Agora que sabemos que a série converge, podemos encontrar a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos:
S = 431 - (-23) = 431 + 23 = 4353 = 45

Resposta

A série converge e a soma dela é 45.

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