Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série infinita converge ou não. Se ela convergir, também vamos descobrir qual é a soma dela. Vamos usar o conteúdo de séries geométricas e verificar os critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco essa expressão para entender melhor o tipo de série com que estamos lidando. A expressão geral da série é . Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, fica mais claro que estamos lidando com uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos.
Passo 4
Comparando com a nossa série, podemos identificar:
Passo 5
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1, ou seja, . Vamos verificar:
Como |r| é menor que 1, sabemos que a série converge.
Passo 6
Agora que sabemos que a série converge, podemos encontrar a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: