Mostre que as seguintes séries são convergentes: sumn=0^infty(-1)^n 2^-n;

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita: . A gente vai mostrar que essa série converge, ou seja, que ela tem um valor final. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e séries geométricas, que são partes importantes da matemática quando a gente estuda somas que continuam para sempre.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série alternada porque os termos têm sinais que mudam de positivo para negativo a cada termo, por causa do . Além disso, os termos têm uma parte que é , que é o mesmo que .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são positivos e diminuem à medida que aumenta.
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero.

Passo 4

No nosso caso, . Claro que é sempre positivo e, conforme aumenta, fica maior, então fica menor. Ou seja, os termos estão diminuindo.

Passo 5

Vamos verificar o limite de limn to infty 2^-n = limn to infty 12^n = 0 quando tende ao infinito:
Então, o limite é zero, o que satisfaz a segunda condição do teste.

Passo 6

Como as duas condições do Teste da Série Alternada estão satisfeitas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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