Mostre que as seguintes séries são convergentes:
;
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita:
. A gente vai mostrar que essa série converge, ou seja, que ela tem um valor final. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e séries geométricas, que são partes importantes da matemática quando a gente estuda somas que continuam para sempre.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série alternada porque os termos têm sinais que mudam de positivo para negativo a cada termo, por causa do
. Além disso, os termos têm uma parte que é
, que é o mesmo que
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teste da Série Alternada, que diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos e diminuem à medida que aumenta. - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
Passo 4
No nosso caso,
. Claro que
é sempre positivo e, conforme
aumenta,
fica maior, então
fica menor. Ou seja, os termos estão diminuindo.
Passo 5
Vamos verificar o limite de
quando
tende ao infinito:
Então, o limite é zero, o que satisfaz a segunda condição do teste.
Passo 6
Como as duas condições do Teste da Série Alternada estão satisfeitas, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
é convergente.