Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a sequência
para
. Precisamos usar diferenciação para descobrir se essa sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Para isso, vamos tratar essa sequência como uma função contínua e analisar seu comportamento usando cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos associar a sequência a uma função contínua. Definimos
. Agora, em vez de olhar para valores discretos de
, vamos analisar como a função se comporta para qualquer
.
Passo 3
Para descobrir se
está aumentando ou diminuindo, precisamos calcular a derivada dessa função. A derivada nos dirá a inclinação da função em qualquer ponto
, indicando se está subindo ou descendo.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
usando a regra do quociente. Lembrando que para
, a derivada é:
Aplicando isso à nossa função:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos analisar o sinal de
. O denominador
é sempre positivo para
, então o sinal da derivada depende apenas do numerador
.
Passo 6
Vamos resolver a inequação
:
Como estamos considerando
, essa condição nunca é satisfeita. Portanto, para todo
:
Passo 7
Como
para todo
, isso significa que a função
está sempre descendo nesse intervalo. Logo, a sequência
também está sempre diminuindo à medida que
aumenta.
Resposta
A sequência
é estritamente decrescente.