Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
{ln(n+2)/(n+2)} de n=1 a infinito

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a sequência para . Precisamos usar diferenciação para descobrir se essa sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo. Para isso, vamos tratar essa sequência como uma função contínua e analisar seu comportamento usando cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos associar a sequência a uma função contínua. Definimos . Agora, em vez de olhar para valores discretos de , vamos analisar como a função se comporta para qualquer .

Passo 3

Para descobrir se está aumentando ou diminuindo, precisamos calcular a derivada dessa função. A derivada nos dirá a inclinação da função em qualquer ponto , indicando se está subindo ou descendo.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de usando a regra do quociente. Lembrando que para , a derivada é:
Aplicando isso à nossa função:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 5

Agora, precisamos analisar o sinal de . O denominador é sempre positivo para , então o sinal da derivada depende apenas do numerador .

Passo 6

Vamos resolver a inequação :
Como estamos considerando , essa condição nunca é satisfeita. Portanto, para todo :

Passo 7

Como para todo , isso significa que a função está sempre descendo nesse intervalo. Logo, a sequência também está sempre diminuindo à medida que aumenta.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente.

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