Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
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Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
converge e, se sim, qual é a soma dela. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma sequência de termos onde cada termo é um múltiplo constante do anterior.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
para facilitar nossa análise. A gente sabe que
. Então, a série fica assim:
Passo 3
Agora, identificamos que essa é uma série geométrica onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por
. Na fórmula da série geométrica
, aqui temos
e a razão
.
Passo 4
Para uma série geométrica convergir, a razão
precisa satisfazer a condição
. No nosso caso,
, que é menor que 1 em módulo, então a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma
de uma série geométrica infinita é:
Onde:
-
é o primeiro termo da série. -
é a razão.
No nosso caso,
e
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
A série
converge e a soma dela é 4.