Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma. sumn=1^infty 2^2-n;

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série sumn=1^infty 2^2-n converge e, se sim, qual é a soma dela. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma sequência de termos onde cada termo é um múltiplo constante do anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão 2^2-n para facilitar nossa análise. A gente sabe que 2^2-n = 2^2 cdot 2^-n = 4 cdot (12)^n. Então, a série fica assim:
sumn=1^infty 4 cdot (12)^n

Passo 3

Agora, identificamos que essa é uma série geométrica onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por 12. Na fórmula da série geométrica sumn=1^infty a cdot r^n-1, aqui temos a = 4 cdot (12)^1 = 2 e a razão r = 12.

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, a razão r precisa satisfazer a condição |r| < 1. No nosso caso, r = 12, que é menor que 1 em módulo, então a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma S de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
Onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão.
No nosso caso, a = 2 e r = 12.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
S = 21 - 12 = 212 = 4

Resposta

A série sumn=1^infty 2^2-n converge e a soma dela é 4.

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