8.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a soma infinita de
. Isso está relacionado à séries geométricas, que são somatórios onde cada termo é um múltiplo fixo do anterior. Para resolver, vamos precisar entender como manipular o índice da soma e aplicar a fórmula da série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Podemos fazer uma mudança de variável para facilitar. Vamos definir
.
Quando
, então
, e quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Assim, a soma original fica:
Passo 3
Agora, temos uma série geométrica na forma
, onde
. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde:
-
é o primeiro termo da série, -
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, o primeiro termo
, e
.
Passo 4
Aplicando os valores na fórmula:
Resposta
A soma infinita
é igual a 3.