8.) sumk=3^infty(34)^k-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a soma infinita de . Isso está relacionado à séries geométricas, que são somatórios onde cada termo é um múltiplo fixo do anterior. Para resolver, vamos precisar entender como manipular o índice da soma e aplicar a fórmula da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sumk=3^infty(34)^k-2 = sumn=1^infty(34)^n . Podemos fazer uma mudança de variável para facilitar. Vamos definir .
Quando , então , e quando tende ao infinito, também tende ao infinito. Assim, a soma original fica:

Passo 3

Agora, temos uma série geométrica na forma S = a1 - r , onde . A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde:
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, o primeiro termo , e .

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula:
S = 341 - 34 = 3414 = 34 times 4 = 3

Resposta

A soma infinita é igual a 3.

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