Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumn=1^infty (-2)^n 43^n+1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty (-2)^n 43^n+1 converge e, se sim, encontrar a soma dela. A matéria envolvida aqui é a de séries, mais especificamente séries geométricas. Vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como calcular sua soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para identificar se ela é geométrica. A série dada é:
sumn=1^infty (-2)^n 43^n+1
Podemos reescrever isso para ficar mais claro:
4 cdot sumn=1^infty (-23)^n cdot 13
Isso simplifica para:
43 cdot sumn=1^infty (-23)^n

Passo 3

Agora, reconhecemos que temos uma série geométrica da forma sumn=1^infty r^n, onde r é a razão da série. No nosso caso, r = -23. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, |r| < 1.

Passo 4

Vamos verificar isso para a nossa série:
|-23| = 23 < 1
Como 23 é menor que 1, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos encontrar a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita que começa em n=1 é:
S = a11 - r
onde a1 é o primeiro termo da série e r é a razão.

Passo 6

Vamos identificar a1 e r na nossa série. A série simplificada é:
43 cdot sumn=1^infty (-23)^n
Aqui, a1 = (-23)^1 = -23 e r = -23.

Passo 7

Aplicando a fórmula da soma:
S = -231 - -23 = -231 + 23 = -2353 = -25
Mas lembre-se do fator que estava multiplicando a série no começo, que era 43. Então, a soma total é:
Stotal = 43 cdot -25 = -815

Resposta

A série converge e a sua soma é -815.

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