Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série converge e, se sim, encontrar a soma dela. A matéria envolvida aqui é a de séries, mais especificamente séries geométricas. Vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como calcular sua soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para identificar se ela é geométrica. A série dada é:
Podemos reescrever isso para ficar mais claro:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, reconhecemos que temos uma série geométrica da forma , onde é a razão da série. No nosso caso, . Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
Passo 4
Vamos verificar isso para a nossa série:
Como é menor que 1, a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, vamos encontrar a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita que começa em é:
onde é o primeiro termo da série e é a razão.
Passo 6
Vamos identificar e na nossa série. A série simplificada é:
Aqui, e .
Passo 7
Aplicando a fórmula da soma:
Mas lembre-se do fator que estava multiplicando a série no começo, que era . Então, a soma total é: