Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série converge e, se sim, encontrar a soma dela. A matéria envolvida aqui é a de séries, mais especificamente séries geométricas. Vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como calcular sua soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para identificar se ela é geométrica. A série dada é:
Podemos reescrever isso para ficar mais claro:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, reconhecemos que temos uma série geométrica da forma , onde é a razão da série. No nosso caso, . Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .

Passo 4

Vamos verificar isso para a nossa série:
Como é menor que 1, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos encontrar a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita que começa em é:
onde é o primeiro termo da série e é a razão.

Passo 6

Vamos identificar e na nossa série. A série simplificada é:
Aqui, e .

Passo 7

Aplicando a fórmula da soma:
Mas lembre-se do fator que estava multiplicando a série no começo, que era . Então, a soma total é:

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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Calcule a integral.
(a) .
(f) .
(j)
(b) .
(g) .
(k) .
© .
(h) .
(l) .
(d) .
(i) .
(m) .
(e) .
Se as raízes do polinômio característico de uma EDO linear homogênea são {2 + i, 2 - i, 3, 3, 0, 0}, determine: b) a solução geral da EDO.
Resolva as equações exponenciais abaixo:
Resolva as equações exponenciais abaixo: