Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
Queremos descobrir se essa série converge (ou seja, se a soma dos seus termos chega a um valor finito) ou diverge (cresce sem limite). Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão dentro da soma para facilitar a análise. Observe que no numerador temos
e no denominador
. Podemos dividir cada termo do numerador e do denominador por
, que é o maior expoente de
no denominador:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando
tende ao infinito. Os termos
e
no numerador vão a zero, e no denominador
também vai a zero. Assim, a expressão se aproxima de:
Isso significa que o termo geral da série tende a zero, o que é uma condição necessária para a série convergir, mas não garante que ela converja.
Passo 4
Como o limite do termo geral é zero, precisamos usar um teste de convergência mais preciso. Vamos aplicar o teste da comparação, comparando com uma série que já conhecemos o comportamento. Observamos que:
Então, nossa série se comporta de forma semelhante à série:
Passo 5
Sabemos que a série
é a série harmônica, que diverge. Como os termos da nossa série original são maiores ou iguais aos termos da série harmônica para
suficientemente grande, pelo teste da comparação, podemos concluir que a nossa série também diverge.
Resposta
A série diverge.
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