Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. O assunto aqui é sobre séries infinitas e a gente vai usar alguns testes de convergência para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como funciona o comportamento dos termos da série quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. O número 37 é uma constante multiplicando a soma infinita, então podemos tirá-lo da série para facilitar:
Agora, nosso foco é na série .

Passo 3

Vamos analisar a série . Uma boa maneira de verificar a convergência é usar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se a razão entre termos consecutivos da série tende a um valor que nos indica a convergência ou divergência.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite da razão entre o termo geral da série e :
Simplificando a expressão dentro do limite:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite:
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(1)