Determine se a série converge ou diverge.
37 sumn=1^infty n e^-n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. O assunto aqui é sobre séries infinitas e a gente vai usar alguns testes de convergência para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como funciona o comportamento dos termos da série quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. O número 37 é uma constante multiplicando a soma infinita, então podemos tirá-lo da série para facilitar:
37 sumn=1^infty n e^-n = 37 ( sumn=1^infty n e^-n )
Agora, nosso foco é na série .

Passo 3

Vamos analisar a série . Uma boa maneira de verificar a convergência é usar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se a razão entre termos consecutivos da série tende a um valor que nos indica a convergência ou divergência.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite da razão entre o termo geral da série L = limn to infty | (n+1) e^-(n+1)n e^-n | e L = limn to infty | n+1n cdot e^-1 | = limn to infty (1 + 1n) e^-1 :
Simplificando a expressão dentro do limite:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite:
L = (1 + 0) e^-1 = e^-1 approx 0,3679
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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