Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem a seguinte série:
A pergunta é para usar um teste básico de comparação para determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar conhecer o teste de comparação e entender como aplicá-lo a essa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o teste de comparação. Esse teste é usado para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já sabemos se converge ou diverge.
Seja
e
duas séries com termos positivos. Se
para todo
a partir de algum índice, e se
converge, então
também converge. Da mesma forma, se
e
diverge, então
também diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série dada:
Podemos simplificar isso observando que
é uma constante multiplicativa, o que não afeta a convergência da série. Portanto, podemos considerar a série:
Passo 4
Vamos observar o comportamento dos termos dessa série. Para cada termo
, temos:
Sabemos que
cresce muito rapidamente à medida que
aumenta. Por exemplo:
- Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante…
Isso mostra que os termos da série estão diminuindo rapidamente e tendem a zero.
Passo 5
Agora, vamos escolher uma série com a qual possamos comparar. Uma série bem conhecida que converge é a série geométrica:
Sabemos que essa série converge porque é uma série geométrica com razão
.
Passo 6
Vamos comparar os termos da nossa série com os da série geométrica. Para todo
:
Isso porque, para
,
é maior ou igual a
, então
.
Passo 7
Como a série comparadora
converge e os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos dessa série para todo
, pelo teste de comparação, podemos concluir que a nossa série:
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste básico de comparação.
Exercícios relacionados
Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
(a) Mostre que a função
determinada pelo
termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(11)
(11)
Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Determine se a série converge ou diverge.