Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem a seguinte série:
A pergunta é para usar um teste básico de comparação para determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar conhecer o teste de comparação e entender como aplicá-lo a essa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o teste de comparação. Esse teste é usado para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série que já sabemos se converge ou diverge.
Seja e duas séries com termos positivos. Se para todo a partir de algum índice, e se converge, então também converge. Da mesma forma, se e diverge, então também diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série dada:
Podemos simplificar isso observando que é uma constante multiplicativa, o que não afeta a convergência da série. Portanto, podemos considerar a série:

Passo 4

Vamos observar o comportamento dos termos dessa série. Para cada termo , temos:
Sabemos que cresce muito rapidamente à medida que aumenta. Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante…
Isso mostra que os termos da série estão diminuindo rapidamente e tendem a zero.

Passo 5

Agora, vamos escolher uma série com a qual possamos comparar. Uma série bem conhecida que converge é a série geométrica:
Sabemos que essa série converge porque é uma série geométrica com razão .

Passo 6

Vamos comparar os termos da nossa série com os da série geométrica. Para todo :
Isso porque, para , é maior ou igual a , então .

Passo 7

Como a série comparadora converge e os termos da nossa série são menores ou iguais aos termos dessa série para todo , pelo teste de comparação, podemos concluir que a nossa série:
também converge.

Resposta

A série converge pelo teste básico de comparação.

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Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
(a) Mostre que a função determinada pelo termo da série verifica a hipótese do teste da integral. (b) Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge.
(11)
Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Determine se a série converge ou diverge.