Determine se a série converge ou diverge.
32 sumn=4^infty 3 n2 n^2-7

Passo 1

Vamos lá, você me pediu para determinar se a série
32 sumn=4^infty 3n2n^2 - 7
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente o Teste da Comparação, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série retirando a constante multiplicativa 32, já que constantes não afetam a convergência ou divergência de uma série. Assim, focamos na série:
sumn=4^infty 3n2n^2 - 7

Passo 3

Agora, precisamos escolher um teste para verificar a convergência. O Teste da Comparação é útil aqui. Ele compara a nossa série com uma série conhecida que é mais simples.

Passo 4

Vamos simplificar o termo geral da nossa série para facilitar a comparação. Observamos que, para valores grandes de 3n2n^2 - 7 approx 3n2n^2 = 32n, o termo sumn=4^infty 1n no denominador se torna insignificante, então podemos aproximar:
Então, comparamos nossa série com a série harmônica:
Sabemos que a série harmônica diverge.

Passo 5

Aplicando o Teste da Comparação, como cada termo da nossa série é aproximadamente , que é uma constante múltiplo da série harmônica divergente, isso sugere que nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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