Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
24 sumn=1^infty 1raizn(n+1)(n+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o teste limite de comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Então, a gente vai precisar entender como funciona esse teste e escolher uma série que facilite a comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Observe o denominador:
raizn(n+1)(n+2)
Podemos expandir isso:
raizn(n+1)(n+2) = raizn^3 + 3n^2 + 2n
Para grandes valores de raizn^3 + 3n^2 + 2n approx raizn^3 = n^3/2 , os termos de maior grau dominam, então:
1raizn(n+1)(n+2) approx 1n^3/2
Assim, o termo geral fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, escolhemos uma série com a qual comparar. Como o termo geral está aproximadamente , vamos usar a série como comparação.
Sabemos que a série é uma série p que converge se . No nosso caso, , então a série de comparação converge.

Passo 4

Aplicamos o teste limite de comparação. Isso significa que calculamos o limite do quociente entre o termo geral da nossa série e o termo geral da série de comparação:
limn to infty 1raizn(n+1)(n+2)1n^3/2 = limn to infty n^3/2raizn(n+1)(n+2)
Simplificando dentro do limite:
n^3/2raizn^3 + 3n^2 + 2n = n^3/2n^3/2 raiz1 + 3n + 2n^2 = 1raiz1 + 0 + 0 = 1

Passo 5

Como o limite é um número positivo e finito ( ), pelo teste limite de comparação, nossa série original e a série de comparação têm o mesmo comportamento. Já que a série de comparação converge, a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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