Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o teste limite de comparação para descobrir se a série
converge ou diverge. Então, a gente vai precisar entender como funciona esse teste e escolher uma série que facilite a comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Observe o denominador:
Podemos expandir isso:
Para grandes valores de
, os termos de maior grau dominam, então:
Assim, o termo geral fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, escolhemos uma série com a qual comparar. Como o termo geral está aproximadamente
, vamos usar a série
como comparação.
Sabemos que a série
é uma série p que converge se
. No nosso caso,
, então a série de comparação converge.
Passo 4
Aplicamos o teste limite de comparação. Isso significa que calculamos o limite do quociente entre o termo geral da nossa série e o termo geral da série de comparação:
Simplificando dentro do limite:
Passo 5
Como o limite é um número positivo e finito (
), pelo teste limite de comparação, nossa série original e a série de comparação têm o mesmo comportamento. Já que a série de comparação
converge, a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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