Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o teste limite de comparação para descobrir se a série converge ou diverge. Então, a gente vai precisar entender como funciona esse teste e escolher uma série que facilite a comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a comparação. Observe o denominador:
Podemos expandir isso:
Para grandes valores de , os termos de maior grau dominam, então:
Assim, o termo geral fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, escolhemos uma série com a qual comparar. Como o termo geral está aproximadamente , vamos usar a série como comparação.
Sabemos que a série é uma série p que converge se . No nosso caso, , então a série de comparação converge.

Passo 4

Aplicamos o teste limite de comparação. Isso significa que calculamos o limite do quociente entre o termo geral da nossa série e o termo geral da série de comparação:
Simplificando dentro do limite:

Passo 5

Como o limite é um número positivo e finito ( ), pelo teste limite de comparação, nossa série original e a série de comparação têm o mesmo comportamento. Já que a série de comparação converge, a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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