Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa saber se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e analisar o comportamento dos termos quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma para entender melhor como ela se comporta quando cresce. Olha só:
Quando é muito grande, os termos com maiores potências de vão dominar. Então, no numerador, é o que mais pesa, e no denominador, é o principal. Assim, para simplificar, podemos aproximar a fração por:

Passo 3

Agora, vamos comparar essa série com uma série conhecida que a gente já sabe se converge ou diverge. A série que escolhemos para comparar é:
Essa é uma série p, onde . Sabemos que séries do tipo convergem se . Como , essa série converge.

Passo 4

Para confirmar que nossa série original se comporta de forma similar, vamos usar o Teste do Limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Dividindo cada termo pelo maior expoente :

Passo 5

O limite que calculamos é , que é um número positivo e diferente de zero. Segundo o Teste do Limite, se esse limite é finito e positivo, as duas séries (a original e a comparada) têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 6

Como já sabemos que a série converge, então nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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