Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa saber se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e analisar o comportamento dos termos quando
fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma para entender melhor como ela se comporta quando
cresce. Olha só:
Quando
é muito grande, os termos com maiores potências de
vão dominar. Então, no numerador,
é o que mais pesa, e no denominador,
é o principal. Assim, para simplificar, podemos aproximar a fração por:
Passo 3
Agora, vamos comparar essa série com uma série conhecida que a gente já sabe se converge ou diverge. A série que escolhemos para comparar é:
Essa é uma série p, onde
. Sabemos que séries do tipo
convergem se
. Como
, essa série converge.
Passo 4
Para confirmar que nossa série original se comporta de forma similar, vamos usar o Teste do Limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Dividindo cada termo pelo maior expoente
:
Passo 5
O limite que calculamos é
, que é um número positivo e diferente de zero. Segundo o Teste do Limite, se esse limite é finito e positivo, as duas séries (a original e a comparada) têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 6
Como já sabemos que a série
converge, então nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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