Determine se a série converge ou diverge.
42 sumn=1^infty n+ln nn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar se a série converge ou diverge. Aqui estamos trabalhando com séries infinitas, então vamos precisar usar alguns testes de convergência. Vamos ver qual teste se aplica melhor para essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor seu comportamento quando n + ln nn^2 + 1 cresce. Olha só:
n + ln nn^2 + 1 approx nn^2 = 1n
Quando fica muito grande, o termo no denominador domina, então podemos aproximar:

Passo 3

Agora, percebemos que a série se comporta de forma similar à série harmônica:
sumn=1^infty 1n
A série harmônica é famosa por diverge, ou seja, não tem soma finita.

Passo 4

Vamos usar o Teste da Comparação para concluir sobre a nossa série original. Nesse teste, comparamos nossa série com outra série conhecida.
Sabemos que:
n + ln nn^2 + 1 >= nn^2 + 1 >= n2n^2 = 12n
Então, nossa série é maior ou igual a uma constante vezes a série harmônica, que já sabemos que diverge.

Passo 5

Como a série comparada diverge e nossa série é maior ou igual a ela, pelo Teste da Comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados