Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar se a série
converge ou diverge. Aqui estamos trabalhando com séries infinitas, então vamos precisar usar alguns testes de convergência. Vamos ver qual teste se aplica melhor para essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor seu comportamento quando
cresce. Olha só:
Quando
fica muito grande, o termo
no denominador domina, então podemos aproximar:
Passo 3
Agora, percebemos que a série se comporta de forma similar à série harmônica:
A série harmônica é famosa por diverge, ou seja, não tem soma finita.
Passo 4
Vamos usar o Teste da Comparação para concluir sobre a nossa série original. Nesse teste, comparamos nossa série com outra série conhecida.
Sabemos que:
Então, nossa série é maior ou igual a uma constante vezes a série harmônica, que já sabemos que diverge.
Passo 5
Como a série comparada
diverge e nossa série é maior ou igual a ela, pelo Teste da Comparação, nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Determine todos os reais
para os quais a série é convergente.
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