Determine se a série converge ou diverge.
36 sumn=1^infty n+ln nn^3+n+1

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
n + ln nn^3 + n + 1
Observamos que para nn^3 = 1n^2 grande, os termos de maior grau no numerador e no denominador dominam. Então, e . Assim, o termo geral se comporta aproximadamente como:

Passo 3

Sabemos que a série é uma série p, que converge se e diverge se . No nosso caso, , então a série converge.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Comparação. Como
n + ln nn^3 + n + 1 <= 2nn^3 = 2n^2
para , e sabemos que converge, então, por comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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