Determine se a série converge ou diverge.
41 sumn=1^infty (2 n+1)^3(n^3+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita da forma:
41 sumn=1^infty (2n + 1)^3(n^3 + 1)^2
Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Comparação, que ajuda a comparar nossa série com uma série que já sabemos se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão para entender o comportamento dos termos quando 8n^3n^6 = 8n^3 fica bem grande (ou seja, tende para o infinito). Olha só:
No numerador temos . Se é bem grande, o termo dominante é , então podemos aproximar por .
No denominador, temos . Novamente, para grande, o termo dominante é , então pode ser aproximado por .
Então, a fração fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série original com a série . Sabemos que essa série é uma série p, onde . E séries p convergem quando . Ou seja, converge.

Passo 4

Para ter certeza de que nossa série original se comporta como a série limn to infty (2n + 1)^3(n^3 + 1)^21n^3 = limn to infty (2n + 1)^3 cdot n^3(n^3 + 1)^2 , vamos usar o Teste da Comparação pelo Limite. Isso significa que vamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries quando approx limn to infty 8n^3 cdot n^3n^6 = limn to infty 8n^6n^6 = 8 tende ao infinito.
Vamos calcular:
Simplificando, como já fizemos antes, para grande:
Esse limite é um número finito e positivo ( ), o que significa que as duas séries têm comportamento similar.

Resposta

A série converge.

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