Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita da forma:
Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Comparação, que ajuda a comparar nossa série com uma série que já sabemos se ela converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão para entender o comportamento dos termos quando
fica bem grande (ou seja, tende para o infinito). Olha só:
No numerador temos
. Se
é bem grande, o termo dominante é
, então podemos aproximar
por
.
No denominador, temos
. Novamente, para
grande, o termo dominante é
, então
pode ser aproximado por
.
Então, a fração fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa série original com a série
. Sabemos que essa série é uma série p, onde
. E séries p convergem quando
. Ou seja,
converge.
Passo 4
Para ter certeza de que nossa série original se comporta como a série
, vamos usar o Teste da Comparação pelo Limite. Isso significa que vamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries quando
tende ao infinito.
Vamos calcular:
Simplificando, como já fizemos antes, para
grande:
Esse limite é um número finito e positivo (
), o que significa que as duas séries têm comportamento similar.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Calculai o produto escalar
entre os vetores
e
abaixo.
a) e
.
a)
Determine se a série converge ou diverge.
Calculai o produto escalar
entre os vetores
e
abaixo.
c) e
.
c)
Determine se a série converge ou diverge.