Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série infinita: Aqui, a gente vai precisar trabalhar com **séries infinitas** e entender como verificar se elas **convergem** ou **divergem**. Para isso, vamos usar o **Teste de Comparação**, que nos ajuda a comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando cresce. Sabemos que sempre fica entre -1 e 1, então: Isso significa que, para grandes valores de , o termo é praticamente insignificante comparado com . Portanto, o numerador se comporta como . No denominador, temos . Aqui, cresce muito mais rápido que , então para valores grandes de , domina e o denominador se parece com .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a série para entender o comportamento geral: Isso nos mostra que a série se assemelha a uma **série geométrica** da forma: As séries geométricas são bem conhecidas: elas convergem se a razão é menor que 1, ou seja, .

Passo 4

Vamos usar o **Teste de Comparação** para formalizar isso. Comparando a nossa série com a série geométrica: Sabemos que , então a série geométrica converge. Como: E já que também é uma série geométrica que converge, pelo **Teste de Comparação**, nossa série original também converge.

Resposta

A série **converge**.

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Calculai o produto escalar entre os vetores e abaixo. c) e .
Determine se a série converge ou diverge.
Para os vetores e vabaixo, encontrai as projeções e , assim como o ângulo entre os vetores. a) e .
Para os vetores e vabaixo, encontrai as projeções e , assim como o ângulo entre os vetores. d) .