Determine se a série converge ou diverge.
46 sumn=1^infty sen n+2^nn+5^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série infinita:
sumn=1^infty sin n + 2^nn + 5^n
Aqui, a gente vai precisar trabalhar com séries infinitas e entender como verificar se elas convergem ou divergem. Para isso, vamos usar o Teste de Comparação, que nos ajuda a comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando -1 <= sin n <= 1 cresce. Sabemos que sempre fica entre -1 e 1, então:
Isso significa que, para grandes valores de , o termo é praticamente insignificante comparado com . Portanto, o numerador se comporta como .
No denominador, temos . Aqui, cresce muito mais rápido que , então para valores grandes de , domina e o denominador se parece com .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a série para entender o comportamento geral:
sin n + 2^nn + 5^n approx 2^n5^n = (25)^n
Isso nos mostra que a série se assemelha a uma série geométrica da forma:
sumn=1^infty (25)^n
As séries geométricas são bem conhecidas: elas convergem se a razão é menor que 1, ou seja, .

Passo 4

Vamos usar o Teste de Comparação para formalizar isso. Comparando a nossa série com a série geométrica:
sumn=1^infty (25)^n
Sabemos que sin n + 2^nn + 5^n <= 2^n + 15^n <= 2^n + 2^n5^n = 2 cdot 2^n5^n = 2 (25)^n , então a série geométrica converge.
Como:
E já que também é uma série geométrica que converge, pelo Teste de Comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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