Beleza, vamos resolver essa série infinita:
Aqui, a gente vai precisar trabalhar com **séries infinitas** e entender como verificar se elas **convergem** ou **divergem**. Para isso, vamos usar o **Teste de Comparação**, que nos ajuda a comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando cresce. Sabemos que sempre fica entre -1 e 1, então:
Isso significa que, para grandes valores de , o termo é praticamente insignificante comparado com . Portanto, o numerador se comporta como .
No denominador, temos . Aqui, cresce muito mais rápido que , então para valores grandes de , domina e o denominador se parece com .
Passo 3
Agora, vamos simplificar a série para entender o comportamento geral:
Isso nos mostra que a série se assemelha a uma **série geométrica** da forma:
As séries geométricas são bem conhecidas: elas convergem se a razão é menor que 1, ou seja, .
Passo 4
Vamos usar o **Teste de Comparação** para formalizar isso. Comparando a nossa série com a série geométrica:
Sabemos que , então a série geométrica converge.
Como:
E já que também é uma série geométrica que converge, pelo **Teste de Comparação**, nossa série original também converge.