Use integral tripla para determinar o volume da região limitada por e por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume da região delimitada pelas superfícies e usando integrais triplas. Isso envolve cálculo multivariado, especificamente integrais múltiplas, para calcular volumes de regiões no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que delimitam a região. Temos duas equações:
: Essa é uma parábola que se abre na direção positiva do eixo .
: Essa é uma parábola invertida que se abre na direção negativa do eixo .
Para encontrar o volume entre essas superfícies, precisamos descobrir onde elas se intersectam.
Passo 3
Vamos igualar as duas equações para encontrar a interseção:
Juntando os termos semelhantes:
Dividindo tudo por 2:
Isso nos mostra que as superfícies se intersectam em um cilindro cujo raio é .
Passo 4
Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é .
Isso porque, em coordenadas cilíndricas, representa a distância do ponto à origem no plano , é o ângulo, e permanece o mesmo.
Passo 5
Agora, vamos expressar as equações das superfícies em coordenadas cilíndricas:
Então, a região que estamos integrando está entre e .
Passo 6
Os limites de integração para vêm da interseção que encontramos, , ou seja, .
Para , como a região é circularmente simétrica, varia de a .
E para , ele varia de até .
Passo 7
Agora, podemos montar a integral tripla para o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos agora integrar em relação a :
Integrando termo a termo:
Substituindo :
Passo 10
Finalmente, integramos em relação a :
Resposta
O volume da região limitada pelas superfícies e é unidades cúbicas.