Use integral tripla para determinar o volume da região limitada por e por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume da região delimitada pelas superfícies e usando integrais triplas. Isso envolve cálculo multivariado, especificamente integrais múltiplas, para calcular volumes de regiões no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que delimitam a região. Temos duas equações:
  1. : Essa é uma parábola que se abre na direção positiva do eixo .
  2. : Essa é uma parábola invertida que se abre na direção negativa do eixo .
Para encontrar o volume entre essas superfícies, precisamos descobrir onde elas se intersectam.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para encontrar a interseção:
Juntando os termos semelhantes:
Dividindo tudo por 2:
Isso nos mostra que as superfícies se intersectam em um cilindro cujo raio é .

Passo 4

Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é .
Isso porque, em coordenadas cilíndricas, representa a distância do ponto à origem no plano , é o ângulo, e permanece o mesmo.

Passo 5

Agora, vamos expressar as equações das superfícies em coordenadas cilíndricas:
Então, a região que estamos integrando está entre e .

Passo 6

Os limites de integração para vêm da interseção que encontramos, , ou seja, .
Para , como a região é circularmente simétrica, varia de a .
E para , ele varia de até .

Passo 7

Agora, podemos montar a integral tripla para o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 9

Vamos agora integrar em relação a :
Integrando termo a termo:
Substituindo :

Passo 10

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume da região limitada pelas superfícies e é unidades cúbicas.

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e .