Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
j) sujeito a .

Passo 1

Beleza, vamos enfrentar esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que precisa ser resolvida. A equação é:
E a condição inicial que devemos usar é . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e usar uma substituição inteligente para facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular essas derivadas:
  • então
  • então:
Como e , que não são iguais, a equação não é exata. Então, vamos precisar de outra estratégia.

Passo 3

Quando a equação não é exata, uma boa tática é fazer uma substituição que simplifique a equação. Vamos tentar a substituição:
Isso implica que . Agora, vamos calcular :
Substituindo e na equação original:
Simplificando:
Percebemos que alguns termos se cancelam:
Então, a equação fica:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos dá uma equação separável, que podemos resolver integrando ambos os lados.

Passo 4

Vamos separar as variáveis:
Reescrevendo:
Agora, integramos ambos os lados:
As integrais são:
Portanto:
Podemos reescrever isso como:
Lembrando que , então:

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que quando , . Substituindo esses valores na equação:
Simplificando:
Então, a equação fica:

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:

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Calcule as derivadas:
Calcule os limites (pode utilizar derivadas!)
Determine se a série converge ou diverge. Se a série convergir, dê seu valor.
(d)
Determine as derivadas, com a regra da cadeia: