Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
j)
sujeito a
.
j)
Passo 1
Beleza, vamos enfrentar esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que precisa ser resolvida. A equação é:
E a condição inicial que devemos usar é
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e usar uma substituição inteligente para facilitar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas:
-
então -
então:
Como
e
, que não são iguais, a equação não é exata. Então, vamos precisar de outra estratégia.
Passo 3
Quando a equação não é exata, uma boa tática é fazer uma substituição que simplifique a equação. Vamos tentar a substituição:
Isso implica que
. Agora, vamos calcular
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Percebemos que alguns termos se cancelam:
Então, a equação fica:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos dá uma equação separável, que podemos resolver integrando ambos os lados.
Passo 4
Vamos separar as variáveis:
Reescrevendo:
Agora, integramos ambos os lados:
As integrais são:
Portanto:
Podemos reescrever isso como:
Lembrando que
, então:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que quando
,
. Substituindo esses valores na equação:
Simplificando:
Então, a equação fica:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é:
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(d)
(d)
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