Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(1+1n) e^-n

Passo 1

No enunciado, a gente precisa determinar se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste de convergência adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . Nosso objetivo é descobrir se a soma desses termos tende a um número finito (converge) ou não (diverge).

Passo 3

Vamos utilizar o Teste da Razão para verificar a convergência da série. Esse teste é útil especialmente quando os termos da série envolvem fatoriais ou exponenciais. O teste consiste em calcular o limite:
L = limn to infty an+1an

Passo 4

Calculando o limite L = limn to infty (1+1n+1) e^-(n+1)(1+1n) e^-n :
L = limn to infty 1+1n+11+1n cdot e^-1
Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, vamos avaliar cada parte do limite separadamente. Conforme 1+1n+11+1n to 1+01+0 = 1 tende ao infinito:
L = 1 cdot 0,3679 = 0,3679
E sabemos que .
Então:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados