Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
No enunciado, a gente precisa determinar se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste de convergência adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é
. Nosso objetivo é descobrir se a soma desses termos tende a um número finito (converge) ou não (diverge).
Passo 3
Vamos utilizar o Teste da Razão para verificar a convergência da série. Esse teste é útil especialmente quando os termos da série envolvem fatoriais ou exponenciais. O teste consiste em calcular o limite:
Passo 4
Calculando o limite
:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, vamos avaliar cada parte do limite separadamente. Conforme
tende ao infinito:
E sabemos que
.
Então:
Passo 6
De acordo com o Teste da Razão:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, então a série converge.
Resposta
A série
converge.