integral x^23 raizx^2+4 cdot d x=

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos reescrever a integral como:
integral x^23 raizx^2+4 , dx = 13 integral x^2raizx^2+4 , dx
Isso torna mais fácil trabalhar com a integral.

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de substituição. Vamos definir dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 . Assim, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Precisamos expressar a integral em termos de x^2 = u - 4 . Observe que:
13 integral u - 4raizu cdot du2 = 16 integral u - 4raizu , du
Substituindo e na integral:

Passo 5

Vamos simplificar a fração dentro da integral:
u - 4raizu = uraizu - 4raizu = raizu - 4u^-1/2
Agora, a integral fica:
16 integral ( raizu - 4u^-1/2 ) , du

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
integral 4u^-1/2 , du = 4 cdot 2 u^1/2 + C = 8u^1/2 + C
Então,
16 ( 23 u^3/2 - 8u^1/2 ) + C = 16 cdot 23 u^3/2 - 16 cdot 8u^1/2 + C = 19 u^3/2 - 43 u^1/2 + C

Passo 7

Agora, substituímos 19 (x^2 + 4)^3/2 - 43 (x^2 + 4)^1/2 + C de volta na expressão:

Resposta

integral x^23 raizx^2+4 , dx = 19 (x^2 + 4)^3/2 - 43 (x^2 + 4)^1/2 + C

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