Uma lagoa de 16 metros de profundida tem a forma de um paraboloide
, com
. Um objeto que está na borda da lagoa desce até o fundo, seguindo a intersecção da lagoa com o plano
.
b) Quanto é o comprimento de arco que percorreu o objeto até chegar ao fundo.(1,5 pts)
b) Quanto é o comprimento de arco que percorreu o objeto até chegar ao fundo.(1,5 pts)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma lagoa que tem 16 metros de profundidade e a forma dela é um paraboloide dado pela equação
, onde
. Um objeto na borda da lagoa desce até o fundo seguindo a intersecção da lagoa com o plano
. Nosso objetivo aqui é calcular o comprimento do arco que esse objeto percorre até chegar ao fundo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco em curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a intersecção do paraboloide com o plano
. Substituindo
na equação do paraboloide, temos:
Isso nos dá a equação de uma parábola no plano
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar essa curva para facilitar o cálculo do comprimento do arco. Podemos usar
como parâmetro, já que a equação está em termos de
. Assim, temos:
Nos limita de
, sabemos que quando
,
, então
ou
. Como o objeto desce da borda até o fundo, consideramos
indo de 4 até 0.
Passo 4
O comprimento do arco
de uma curva parametrizada por
pode ser calculado pela integral:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Passo 7
Para resolver essa integral, usamos a fórmula padrão:
Aplicando os limites de 0 a 4:
Passo 8
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então, o comprimento do arco é:
Resposta
O comprimento do arco percorrido pelo objeto até chegar ao fundo é aproximadamente 16,82 metros.
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b) Se e
, sendo
o domínio de
. Para
, o limite
existe? (
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c) Usando a definição de limite verifique o seguinte:
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b)
b)
Determine se a série converge ou diverge.