Uma lagoa de 16 metros de profundida tem a forma de um paraboloide , com . Um objeto que está na borda da lagoa desce até o fundo, seguindo a intersecção da lagoa com o plano .
b) Quanto é o comprimento de arco que percorreu o objeto até chegar ao fundo.(1,5 pts)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma lagoa que tem 16 metros de profundidade e a forma dela é um paraboloide dado pela equação , onde . Um objeto na borda da lagoa desce até o fundo seguindo a intersecção da lagoa com o plano . Nosso objetivo aqui é calcular o comprimento do arco que esse objeto percorre até chegar ao fundo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente o cálculo de comprimento de arco em curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a intersecção do paraboloide com o plano . Substituindo na equação do paraboloide, temos:
Isso nos dá a equação de uma parábola no plano .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar essa curva para facilitar o cálculo do comprimento do arco. Podemos usar como parâmetro, já que a equação está em termos de . Assim, temos:
Nos limita de , sabemos que quando , , então ou . Como o objeto desce da borda até o fundo, consideramos indo de 4 até 0.

Passo 4

O comprimento do arco de uma curva parametrizada por pode ser calculado pela integral:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas necessárias:
á

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:

Passo 7

Para resolver essa integral, usamos a fórmula padrão:
Aplicando os limites de 0 a 4:

Passo 8

Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então, o comprimento do arco é:

Resposta

O comprimento do arco percorrido pelo objeto até chegar ao fundo é aproximadamente 16,82 metros.

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