Os seguintes limites existem?
b)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se o limite abaixo existe quando tanto quanto se aproximam de 0:
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de limites de funções de duas variáveis e verificar se o limite é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo resultado. Se os resultados forem diferentes, isso significa que o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar calculando o limite quando . Substituindo por 0 na expressão, temos:
Então, ao longo do caminho onde , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando . Substituindo por 0 na expressão, temos:
Então, ao longo do caminho onde , o limite é .

Passo 5

Observamos que ao seguir diferentes caminhos ( e ), obtemos limites diferentes (0 e ). Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar de .

Resposta

O limite não existe porque diferentes caminhos levam a resultados diferentes.

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Uma lagoa de 16 metros de profundida tem a forma de um paraboloide , com . Um objeto que está na borda da lagoa desce até o fundo, seguindo a intersecção da lagoa com o plano .
b) Quanto é o comprimento de arco que percorreu o objeto até chegar ao fundo.(1,5 pts)
Solucionar as seguintes perguntas sobre limites
b) Se e , sendo o domínio de . Para , o limite existe? (
Determine se a série converge ou diverge.