Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Isso está relacionado ao conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento dos termos da série quando
cresce muito, usando o Teste da Série P e o Teste de Limite Comparativo.
Passo 2
Primeiro, a gente observa o termo geral da série:
. Quando
é grande, o termo
domina sobre o
, então podemos simplificar para aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série
, que é uma série p onde
. Sabemos que uma série p converge se
. Como
, essa série comparativa converge.
Passo 4
Para confirmar a comparação, usamos o Teste de Limite Comparativo. Calculamos o limite:
Como o limite é uma constante positiva finita, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 5
Já que a série comparativa
converge e o limite do Teste de Limite Comparativo é positivo e finito, concluímos que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Verifique se as equações são equações diferencias ordinárias e caso afirmativo, indique o grau e o tipo de equações.
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para .
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para
Determine se a série converge ou diverge.
Determine
de maneira que as funções
e
, dadas por
e
, sejam iguais.