Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 1raiz4 n^3-5 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento dos termos da série quando cresce muito, usando o Teste da Série P e o Teste de Limite Comparativo.

Passo 2

Primeiro, a gente observa o termo geral da série: . Quando é grande, o termo domina sobre o , então podemos simplificar para aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série , que é uma série p onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , essa série comparativa converge.

Passo 4

Para confirmar a comparação, usamos o Teste de Limite Comparativo. Calculamos o limite:
limn to infty 1raiz4 n^3-5 n1n^3/2 = limn to infty n^3/2raiz4n^3 - 5n = limn to infty n^3/2n^3/2 raiz4 - 5n^2 = 1raiz4 = 12
Como o limite é uma constante positiva finita, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 5

Já que a série comparativa converge e o limite do Teste de Limite Comparativo é positivo e finito, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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