Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento dos termos da série quando cresce muito, usando o Teste da Série P e o Teste de Limite Comparativo.

Passo 2

Primeiro, a gente observa o termo geral da série: . Quando é grande, o termo domina sobre o , então podemos simplificar para aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série , que é uma série p onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , essa série comparativa converge.

Passo 4

Para confirmar a comparação, usamos o Teste de Limite Comparativo. Calculamos o limite:
Como o limite é uma constante positiva finita, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 5

Já que a série comparativa converge e o limite do Teste de Limite Comparativo é positivo e finito, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Verifique se as equações são equações diferencias ordinárias e caso afirmativo, indique o grau e o tipo de equações.
onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para .
Determine se a série converge ou diverge.
Determine de maneira que as funções e , dadas por e , sejam iguais.