Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Isso está relacionado ao conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento dos termos da série quando
cresce muito, usando o Teste da Série P e o Teste de Limite Comparativo.
Passo 2
Primeiro, a gente observa o termo geral da série:
. Quando
é grande, o termo
domina sobre o
, então podemos simplificar para aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série
, que é uma série p onde
. Sabemos que uma série p converge se
. Como
, essa série comparativa converge.
Passo 4
Para confirmar a comparação, usamos o Teste de Limite Comparativo. Calculamos o limite:
Como o limite é uma constante positiva finita, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 5
Já que a série comparativa
converge e o limite do Teste de Limite Comparativo é positivo e finito, concluímos que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.