onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para
.
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma equação de Riccati da forma:
onde
,
e
são funções contínuas no intervalo
, e
em
. O objetivo é mostrar que a mudança de variável
transforma essa equação em uma equação linear de primeira ordem para
. Para isso, vamos seguir alguns passos para realizar essa substituição e simplificar a equação.
Passo 2
Vamos começar substituindo
na equação de Riccati pela expressão fornecida:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Lembre-se que a derivada de
é:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação de Riccati original:
Substituindo, temos:
Passo 4
Expandindo os termos, começamos por calcular
:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes. Observamos que os termos com
são:
Os termos com
são:
E os termos sem
são:
Passo 6
Agora, note que
é uma solução particular da equação de Riccati original, ou seja:
Isso significa que esse termo cancela com o lado direito da equação. Assim, a equação simplifica para:
Passo 7
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores, obtemos:
Rearranjando os termos:
Passo 8
Agora, podemos fatorar
nos termos que o contêm:
Essa é uma equação linear de primeira ordem para
:
Resposta
Assim, ao realizar a mudança de variável
, a equação de Riccati original se transforma na seguinte equação linear de primeira ordem para
:
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