onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma equação de Riccati da forma:
onde , e são funções contínuas no intervalo , e em . O objetivo é mostrar que a mudança de variável
transforma essa equação em uma equação linear de primeira ordem para . Para isso, vamos seguir alguns passos para realizar essa substituição e simplificar a equação.

Passo 2

Vamos começar substituindo na equação de Riccati pela expressão fornecida:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de em relação a :
Lembre-se que a derivada de é:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação de Riccati original:
Substituindo, temos:

Passo 4

Expandindo os termos, começamos por calcular :
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes. Observamos que os termos com são:
Os termos com são:
E os termos sem são:

Passo 6

Agora, note que é uma solução particular da equação de Riccati original, ou seja:
Isso significa que esse termo cancela com o lado direito da equação. Assim, a equação simplifica para:

Passo 7

Multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores, obtemos:
Rearranjando os termos:

Passo 8

Agora, podemos fatorar nos termos que o contêm:
Essa é uma equação linear de primeira ordem para :

Resposta

Assim, ao realizar a mudança de variável , a equação de Riccati original se transforma na seguinte equação linear de primeira ordem para :

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