Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 2^nn^2

Passo 1

Vamos lá! O desafio é descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é ótimo para séries que têm termos com exponenciais, como o nesse caso.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teste da Razão? Ele nos ajuda a determinar o comportamento de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos. Ou seja, calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não dá resposta e precisamos tentar outro método.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identifiquemos an = 2^nn^2 e an+1 = 2^n+1(n+1)^2 :
an+1an = 2^n+1(n+1)^2 times n^22^n = 2 times n^2(n+1)^2
L = limn to infty 2 times n^2(n+1)^2
Agora, calculamos a razão:
L = 2 times limn to infty n^2n^2 + 2n + 1 = 2 times 1 = 2
Então, o limite fica:
Simplificando o limite:

Resposta

Como , pelo Teste da Razão, a série diverge.

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