Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui: temos que descobrir se a série
converge ou diverge. Isso está dentro do assunto de análise de séries, especificamente sobre verificar a convergência de uma série infinita. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série
e o Teste de Comparação, que são ferramentas bem úteis para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Quando
fica grande, o número 3 se torna bem pequeno comparado com
, então a expressão
é aproximadamente igual a
. Assim, podemos aproximar nosso termo por:
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa série com a série
. Sabemos que a série
é uma série p onde
. O Teste da Série
diz que se
, então a série converge.
Passo 4
Como a série comparada
é basicamente a série
multiplicada por uma constante (que não afeta a convergência), ela também converge. Além disso, os termos da nossa série original
são menores que os da série comparada
para todo
grande o suficiente. Pelo Teste de Comparação, se a série maior converge, então a série menor também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes integrais
Utilize o teste para divergência para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para .
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para
Verifique se as equações são equações diferencias ordinárias e caso afirmativo, indique o grau e o tipo de equações.