Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 1(3+2 n)^2

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui: temos que descobrir se a série sumn=1^infty 1(3+2 n)^2 converge ou diverge. Isso está dentro do assunto de análise de séries, especificamente sobre verificar a convergência de uma série infinita. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série e o Teste de Comparação, que são ferramentas bem úteis para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: 1(3 + 2n)^2. Quando 1(3 + 2n)^2 approx 1(2n)^2 = 14n^2 fica grande, o número 3 se torna bem pequeno comparado com , então a expressão é aproximadamente igual a . Assim, podemos aproximar nosso termo por:

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com a série sumn=1^infty 14n^2. Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p onde . O Teste da Série diz que se , então a série converge.

Passo 4

Como a série comparada sumn=1^infty 14n^2 é basicamente a série sumn=1^infty 1n^2 multiplicada por uma constante (que não afeta a convergência), ela também converge. Além disso, os termos da nossa série original 1(3+2n)^2 são menores que os da série comparada 14n^2 para todo grande o suficiente. Pelo Teste de Comparação, se a série maior converge, então a série menor também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1(3+2 n)^2 converge.

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