Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer aqui: temos que descobrir se a série converge ou diverge. Isso está dentro do assunto de análise de séries, especificamente sobre verificar a convergência de uma série infinita. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série e o Teste de Comparação, que são ferramentas bem úteis para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Quando fica grande, o número 3 se torna bem pequeno comparado com , então a expressão é aproximadamente igual a . Assim, podemos aproximar nosso termo por:

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com a série . Sabemos que a série é uma série p onde . O Teste da Série diz que se , então a série converge.

Passo 4

Como a série comparada é basicamente a série multiplicada por uma constante (que não afeta a convergência), ela também converge. Além disso, os termos da nossa série original são menores que os da série comparada para todo grande o suficiente. Pelo Teste de Comparação, se a série maior converge, então a série menor também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes integrais
Utilize o teste para divergência para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para .
Verifique se as equações são equações diferencias ordinárias e caso afirmativo, indique o grau e o tipo de equações.