Resolva as seguintes integrais

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais que têm uma fração algébrica. Para resolver, vamos precisar usar a divisão polinomial e depois aplicar a técnica de substituição. Então, prepara que vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no grau do numerador e do denominador. O numerador é e o denominador é . Como o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (2), a gente precisa fazer uma divisão polinomial antes de integrar.

Passo 3

Vamos dividir por :
Isso significa que nossa integral fica:

Passo 4

Agora, separamos a integral em duas partes:
A primeira parte, , é bem direta. Já a segunda parte, , vamos resolver usando substituição.

Passo 5

Para resolver , fazemos a substituição:
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando à nossa integral original:

Resposta

A integral é igual a:

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Utilize o teste para divergência para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
Simplifique
Determine se a série converge ou diverge.
onde e são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável .
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para .