Resolva as seguintes integrais
(c) integral x^3x^2-1 d x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais que têm uma fração algébrica. Para resolver, vamos precisar usar a divisão polinomial e depois aplicar a técnica de substituição. Então, prepara que vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no grau do numerador e do denominador. O numerador é e o denominador é . Como o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (2), a gente precisa fazer uma divisão polinomial antes de integrar.

Passo 3

Vamos dividir x^3x^2 - 1 = x + xx^2 - 1 por integral x^3x^2-1 dx = integral ( x + xx^2 - 1 ) dx :
Isso significa que nossa integral fica:

Passo 4

Agora, separamos a integral em duas partes:
integral x , dx + integral xx^2 - 1 dx
A primeira parte, , é bem direta. Já a segunda parte, , vamos resolver usando substituição.

Passo 5

Para resolver u = x^2 - 1 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx , fazemos a substituição:
integral xx^2 - 1 dx = 12 integral duu = 12 ln|u| + C = 12 ln|x^2 - 1| + C
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
integral x , dx + integral xx^2 - 1 dx = 12x^2 + 12 ln|x^2 - 1| + C

Resposta

A integral 12x^2 + 12 ln|x^2 - 1| + C é igual a:

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