Resolva as seguintes integrais
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a integral
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais que têm uma fração algébrica. Para resolver, vamos precisar usar a divisão polinomial e depois aplicar a técnica de substituição. Então, prepara que vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no grau do numerador e do denominador. O numerador é
e o denominador é
. Como o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (2), a gente precisa fazer uma divisão polinomial antes de integrar.
Passo 3
Vamos dividir
por
:
Isso significa que nossa integral fica:
Passo 4
Agora, separamos a integral em duas partes:
A primeira parte,
, é bem direta. Já a segunda parte,
, vamos resolver usando substituição.
Passo 5
Para resolver
, fazemos a substituição:
Substituindo na integral:
Passo 6
Voltando à nossa integral original:
Resposta
A integral
é igual a:
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Utilize o teste para divergência para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
Simplifique
Determine se a série converge ou diverge.
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta real e
em I, é conhecida como equação de Ricatti. Seja
uma solução particular dessa equação. Considere então a mudança de variável
.
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para .
a) Mostre que essa mudança de variável transforma a equação de Ricatti em uma equação de primeira ordem e linear para