Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n(1+e^-n)

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema que temos aqui. A questão pede para determinar se a série infinita sumn=1^infty(-1)^n(1+e^-n) converge ou diverge. Estamos lidando com séries numéricas, mais especificamente com uma série alternada por causa do termo (-1)^n. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as séries alternadas e quais testes podemos aplicar para verificar a convergência ou divergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal alternadamente, como positivo, negativo, positivo, e assim por diante. A série dada é do tipo alternada devido ao (-1)^n. Para analisar a convergência de uma série alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada nos diz que a série sumn=1^infty(-1)^nbn converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos bn são decrescentes: bn+1 <= bn para todo n.
  2. O limite dos termos tende a zero: limn to infty bn = 0.
No nosso caso, bn = 1 + e^-n.

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: se os termos bn = 1 + e^-n são decrescentes.
Observando e^-n, sabemos que conforme n aumenta, e^-n diminui porque a função exponencial decresce quando o expoente é negativo e aumenta em valor absoluto à medida que n cresce. Portanto, 1 + e^-n também diminui conforme n aumenta. Assim, a sequência bn é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição: se o limite dos termos bn = 1 + e^-n tende a zero quando n vai para infinito.
Calculando o limite:
limn to infty (1 + e^-n) = 1 + limn to infty e^-n
Sabemos que limn to infty e^-n = 0, então:
1 + 0 = 1
Portanto, limn to infty bn = 1 neq 0.

Passo 6

Como a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita (o limite dos termos não é zero), podemos concluir que a série não converge. Na verdade, ela diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n(1+e^-n) diverge.

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