Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema que temos aqui. A questão pede para determinar se a série infinita converge ou diverge. Estamos lidando com séries numéricas, mais especificamente com uma série alternada por causa do termo . Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as séries alternadas e quais testes podemos aplicar para verificar a convergência ou divergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal alternadamente, como positivo, negativo, positivo, e assim por diante. A série dada é do tipo alternada devido ao . Para analisar a convergência de uma série alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada nos diz que a série converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são decrescentes: para todo .
  2. O limite dos termos tende a zero: .
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: se os termos são decrescentes.
Observando , sabemos que conforme aumenta, diminui porque a função exponencial decresce quando o expoente é negativo e aumenta em valor absoluto à medida que cresce. Portanto, também diminui conforme aumenta. Assim, a sequência é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição: se o limite dos termos tende a zero quando vai para infinito.
Calculando o limite:
Sabemos que , então:
Portanto, .

Passo 6

Como a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita (o limite dos termos não é zero), podemos concluir que a série não converge. Na verdade, ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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