Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema que temos aqui. A questão pede para determinar se a série infinita
converge ou diverge. Estamos lidando com séries numéricas, mais especificamente com uma série alternada por causa do termo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as séries alternadas e quais testes podemos aplicar para verificar a convergência ou divergência delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série alternada é aquela em que os termos mudam de sinal alternadamente, como positivo, negativo, positivo, e assim por diante. A série dada é do tipo alternada devido ao
. Para analisar a convergência de uma série alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada.
Passo 3
O Teste da Série Alternada nos diz que a série
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes: para todo . - O limite dos termos tende a zero:
.
No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição: se os termos
são decrescentes.
Observando
, sabemos que conforme
aumenta,
diminui porque a função exponencial decresce quando o expoente é negativo e aumenta em valor absoluto à medida que
cresce. Portanto,
também diminui conforme
aumenta. Assim, a sequência
é decrescente.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda condição: se o limite dos termos
tende a zero quando
vai para infinito.
Calculando o limite:
Sabemos que
, então:
Portanto,
.
Passo 6
Como a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita (o limite dos termos não é zero), podemos concluir que a série não converge. Na verdade, ela diverge.
Resposta
A série
diverge.
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e
, dadas por
e
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