Determine se as séries geométricas convergem ou divergem; se convergir, calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série geométrica
converge ou diverge. Se ela convergir, vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar os conceitos de séries geométricas e entender quando elas somam a um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série geométrica. É uma soma infinita onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão (r). No nosso caso, a razão é:

Passo 3

Para saber se a série geométrica converge, precisamos verificar o valor absoluto da razão . Se , a série converge e a soma pode ser calculada. Se , a série diverge, ou seja, não tem soma finita.

Passo 4

Vamos calcular o valor absoluto da razão:
Como , a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde é o primeiro termo da série. No nosso caso, o primeiro termo quando é:

Passo 6

Aplicando a fórmula com os valores que temos:
Vamos simplificar o denominador:
Então, a soma fica:

Passo 7

Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por :

Resposta

A série geométrica
converge e sua soma é:

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