Determine se a série converge ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de teoria das séries e limites que nos ajudam a analisar o comportamento dos termos conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observa que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de
. Para entender o comportamento quando
fica muito grande, vamos dividir os termos de maior grau no numerador e no denominador:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito. Quando
fica muito grande, as frações
e
vão se aproximando de zero. Então, temos:
Passo 4
O resultado do limite nos diz que, para
grande, os termos da série se comportam aproximadamente como
. Ou seja, cada termo está próximo de
quando
aumenta.
Segundo o Teste da Divergência, se o limite dos termos de uma série
não for zero, a série diverge. Aqui, o limite é
, então a série não satisfaz esse critério.
Passo 5
Portanto, como o limite dos termos não é zero, concluímos que a série
não converge.
Resposta
A série
diverge.