Determine se a série converge ou diverge: sumn=1^infty n^22 n^2+n+1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa descobrir se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de teoria das séries e limites que nos ajudam a analisar o comportamento dos termos conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observa que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de n^22n^2 + n + 1 = n^2n^2(2 + 1n + 1n^2) = 12 + 1n + 1n^2 . Para entender o comportamento quando fica muito grande, vamos dividir os termos de maior grau no numerador e no denominador:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando limn to infty 12 + 1n + 1n^2 = 12 + 0 + 0 = 12 tende ao infinito. Quando fica muito grande, as frações e vão se aproximando de zero. Então, temos:

Passo 4

O resultado do limite nos diz que, para grande, os termos da série se comportam aproximadamente como . Ou seja, cada termo está próximo de quando aumenta.
Segundo o Teste da Divergência, se o limite dos termos de uma série não for zero, a série diverge. Aqui, o limite é , então a série não satisfaz esse critério.

Passo 5

Portanto, como o limite dos termos não é zero, concluímos que a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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