Encontre a soma da série sumn=0^infty 2 (-2)^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a soma da série . Estamos lidando com uma série infinita que envolve fórmulas exponenciais. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento de séries de potências e a função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série: 2 sumn=0^infty (-2)^nn! . Podemos fatorar o 2 para fora da soma, ficando assim:
Isso simplifica a nossa análise.

Passo 3

Agora, vamos nos lembrar da definição da função exponencial. Sabemos que:
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Isso significa que a série é igual a .

Passo 4

Comparando com a nossa série, vemos que sumn=0^infty (-2)^nn! = e^-2 . Então, substituindo na fórmula da exponencial:

Passo 5

Voltando à nossa expressão original, que tinha o 2 multiplicando a série:
2 sumn=0^infty (-2)^nn! = 2 cdot e^-2
Calculando isso, obtemos a soma da série.

Resposta

A soma da série é , ou aproximadamente .

Exercícios relacionados