Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é verificar se a série infinita
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque tem o termo , que alterna o sinal de cada termo. Séries alternadas têm sinais que mudam de positivo para negativo e vice-versa.

Passo 3

Um bom teste para usar aqui é o Teste da Série Alternada, que nos diz que uma série alternada
converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os são decrescentes .
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .

Passo 4

Vamos identificar na nossa série:
Agora, precisamos verificar se está decrescendo e se o limite de é zero.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar o limite de quando vai para o infinito:
Então, .

Passo 6

Como o limite de não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge. Na verdade, se o limite não é zero, a série necessariamente diverge.

Resposta

A série diverge.

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Seja dada por
Calcule e simplifique:
b) ,
Resolva as seguintes P.V.I.
Seja dada por
Calcule e simplifique:
c)
Determine se as séries geométricas convergem ou divergem; se convergir, calcule sua soma.