Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^2+3(2 n-5)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é verificar se a série infinita
sumn=1^infty (-1)^n-1 n^2+3(2n-5)^2
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque tem o termo , que alterna o sinal de cada termo. Séries alternadas têm sinais que mudam de positivo para negativo e vice-versa.

Passo 3

Um bom teste para usar aqui é o Teste da Série Alternada, que nos diz que uma série alternada
sumn=1^infty (-1)^n-1 bn
converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os são decrescentes .
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .

Passo 4

Vamos identificar bn = n^2+3(2n-5)^2 na nossa série:
Agora, precisamos verificar se está decrescendo e se o limite de é zero.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar o limite de limn to infty n^2+3(2n-5)^2 = limn to infty n^24n^2 = 14 quando vai para o infinito:
Então, .

Passo 6

Como o limite de não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge. Na verdade, se o limite não é zero, a série necessariamente diverge.

Resposta

A série diverge.

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