Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é verificar se a série infinita
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada porque tem o termo
, que alterna o sinal de cada termo. Séries alternadas têm sinais que mudam de positivo para negativo e vice-versa.
Passo 3
Um bom teste para usar aqui é o Teste da Série Alternada, que nos diz que uma série alternada
converge se duas condições forem atendidas:
- Os
são decrescentes . - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Passo 4
Vamos identificar
na nossa série:
Agora, precisamos verificar se
está decrescendo e se o limite de
é zero.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar o limite de
quando
vai para o infinito:
Então,
.
Passo 6
Como o limite de
não é zero, o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge. Na verdade, se o limite não é zero, a série necessariamente diverge.
Resposta
A série diverge.
Exercícios relacionados
Seja
dada por
Calcule e simplifique:
b) ,
b)
Resolva as seguintes P.V.I.
Seja
dada por
Calcule e simplifique:
c)
c)
Determine se as séries geométricas convergem ou divergem; se convergir, calcule sua soma.