Resolva as seguintes P.V.I.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com uma condição inicial:
O conteúdo envolvido aqui é Cálculo Diferencial, especialmente a resolução de equações diferenciais que podem ser separáveis. Para resolver, precisaremos manipular a equação para separar as variáveis e e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação diferencial:
Lembrando que , podemos escrever:

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis, ou seja, termos que envolvem de um lado e termos que envolvem do outro lado. Multiplicamos ambos os lados por e por :

Passo 4

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados:
A integração nos permite encontrar uma relação entre e .

Passo 5

Calculando as integrais:
Aqui, é a constante de integração que determinaremos usando a condição inicial.

Passo 6

Simplificamos a equação multiplicando ambos os lados por 2 para facilitar:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Passo 8

Substituímos na equação:
Para isolar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Consideramos apenas a raiz positiva porque, pela condição inicial, é positivo.

Resposta

A solução da P.V.I. é:

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Seja dada por
Calcule e simplifique:
a) ,
Obtenha a solução geral
Seja dada por
Calcule e simplifique:
b) ,
Determine se a série converge ou diverge.