Resolva as seguintes P.V.I.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com uma condição inicial:
O conteúdo envolvido aqui é Cálculo Diferencial, especialmente a resolução de equações diferenciais que podem ser separáveis. Para resolver, precisaremos manipular a equação para separar as variáveis
e
e depois integrar ambos os lados.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a equação diferencial:
Lembrando que
, podemos escrever:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis, ou seja, termos que envolvem
de um lado e termos que envolvem
do outro lado. Multiplicamos ambos os lados por
e por
:
Passo 4
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados:
A integração nos permite encontrar uma relação entre
e
.
Passo 5
Calculando as integrais:
Aqui,
é a constante de integração que determinaremos usando a condição inicial.
Passo 6
Simplificamos a equação multiplicando ambos os lados por 2 para facilitar:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Passo 8
Substituímos
na equação:
Para isolar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Consideramos apenas a raiz positiva porque, pela condição inicial,
é positivo.
Resposta
A solução da P.V.I. é:
Exercícios relacionados
Seja
dada por
Calcule e simplifique:
a) ,
a)
Obtenha a solução geral
Seja
dada por
Calcule e simplifique:
b) ,
b)
Determine se a série converge ou diverge.