Determine se as séries geométricas convergem ou divergem; se convergir, calcule sua soma.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série geométrica da forma . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma a um número finito) ou diverge, e se convergir, calcular essa soma. Para resolver isso, precisamos identificar o primeiro termo da série e a razão comum entre os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o primeiro termo () da série. Observando a expressão , quando , temos:
Então, o primeiro termo da série é 3.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a razão comum () da série. A razão comum é o número pelo qual multiplicamos um termo para chegar no próximo. Observando a expressão , vemos que a base é . Isso significa que:
Portanto, a razão comum da série é .
Passo 4
Para determinar se a série converge ou diverge, usamos a condição das séries geométricas. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Como , podemos afirmar que a série converge.
Passo 5
Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: