Determine se as séries geométricas convergem ou divergem; se convergir, calcule sua soma.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série geométrica da forma . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma a um número finito) ou diverge, e se convergir, calcular essa soma. Para resolver isso, precisamos identificar o primeiro termo da série e a razão comum entre os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo ( ) da série. Observando a expressão , quando , temos:
Então, o primeiro termo da série é 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a razão comum ( ) da série. A razão comum é o número pelo qual multiplicamos um termo para chegar no próximo. Observando a expressão , vemos que a base é . Isso significa que:
Portanto, a razão comum da série é .

Passo 4

Para determinar se a série converge ou diverge, usamos a condição das séries geométricas. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Como , podemos afirmar que a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A série geométrica converge e a sua soma é 4.

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Seja dada por
Calcule e simplifique:
c)
Determine se a série converge ou diverge.
Seja dada por
Calcule e simplifique:
d) .
Simplifique