Determine se a série converge ou diverge.
sumn=2^infty n^3n^4-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que determinar se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação ou o Teste de Comparação por Limite. Esses testes ajudam a comparar a série em questão com outra série conhecida para ver se ela também converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observamos que para valores grandes de n^3n^4-1 approx n^3n^4 = 1n , domina o no denominador. Então, podemos aproximar:
Isso significa que, para grande, os termos da nossa série se comportam como , que é a famosa série harmônica.

Passo 3

Agora, sabemos que a série harmônica diverge. Então, vamos usar o Teste de Comparação por Limite para comparar nossa série com a harmônica.

Passo 4

No Teste de Comparação por Limite, calculamos o limite da razão entre os termos das duas séries:
limn to infty n^3n^4-11n = limn to infty n^4n^4-1

Passo 5

Vamos calcular esse limite:
limn to infty n^4n^4-1 = limn to infty 11 - 1n^4 = 11-0 = 1

Passo 6

Como o limite é e , o Teste de Comparação por Limite nos diz que a série que estamos analisando tem o mesmo comportamento da série harmônica. Já que a série harmônica diverge, nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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