Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que determinar se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação ou o Teste de Comparação por Limite. Esses testes ajudam a comparar a série em questão com outra série conhecida para ver se ela também converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observamos que para valores grandes de
,
domina o
no denominador. Então, podemos aproximar:
Isso significa que, para
grande, os termos da nossa série se comportam como
, que é a famosa série harmônica.
Passo 3
Agora, sabemos que a série harmônica
diverge. Então, vamos usar o Teste de Comparação por Limite para comparar nossa série com a harmônica.
Passo 4
No Teste de Comparação por Limite, calculamos o limite da razão entre os termos das duas séries:
Passo 5
Vamos calcular esse limite:
Passo 6
Como o limite é
e
, o Teste de Comparação por Limite nos diz que a série que estamos analisando tem o mesmo comportamento da série harmônica. Já que a série harmônica diverge, nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Mostre que a fronteira da bola aberta
é a esfera
.
Mostre que o conjunto
é aberto.
Ache
se
Ache
se