Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Estamos lidando com séries infinitas e vamos utilizar alguns testes de convergência para resolver isso. Precisaremos entender como o termo geral se comporta e aplicar um teste adequado para essa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
Como temos
, isso sugere que a série é alternada (os sinais dos termos mudam). Para séries alternadas, geralmente usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste verifica se os termos da série diminuem em valor absoluto e tendem a zero.
Passo 3
Vamos olhar para o valor absoluto dos termos:
Precisamos verificar se
diminui conforme
cresce e se
. Se isso acontecer, a série pode convergir. Caso contrário, ela diverge.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Para entender esse limite, precisamos comparar o crescimento de
e
. Sabemos que
cresce muito rápido, mas
cresce ainda mais rápido. De fato,
cresce exponencialmente enquanto
cresce super-exponencialmente, mas neste caso,
ainda domina o crescimento.
Passo 5
Calculando o limite:
Isso significa que os termos
não tendem a zero; na verdade, eles crescem sem limite à medida que
aumenta.
Passo 6
Segundo o Teste da Série Alternada, para que uma série alternada
converja, é necessário que:
-
seja decrescente: -
No nosso caso, vimos que
. Portanto, o critério não é satisfeito.
Passo 7
Como o limite dos termos não é zero, pela regra básica para séries, se
, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.
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.
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