Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n n^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty (-1)^n n^nn!
converge ou diverge. Estamos lidando com séries infinitas e vamos utilizar alguns testes de convergência para resolver isso. Precisaremos entender como o termo geral se comporta e aplicar um teste adequado para essa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
an = (-1)^n n^nn!
Como temos , isso sugere que a série é alternada (os sinais dos termos mudam). Para séries alternadas, geralmente usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste verifica se os termos da série diminuem em valor absoluto e tendem a zero.

Passo 3

Vamos olhar para o valor absoluto dos termos:
|an| = n^nn!
Precisamos verificar se diminui conforme cresce e se . Se isso acontecer, a série pode convergir. Caso contrário, ela diverge.

Passo 4

Vamos calcular o limite de limn to infty n^nn! quando tende ao infinito:
Para entender esse limite, precisamos comparar o crescimento de e . Sabemos que cresce muito rápido, mas cresce ainda mais rápido. De fato, cresce exponencialmente enquanto cresce super-exponencialmente, mas neste caso, ainda domina o crescimento.

Passo 5

Calculando o limite:
limn to infty n^nn! = infty
Isso significa que os termos não tendem a zero; na verdade, eles crescem sem limite à medida que aumenta.

Passo 6

Segundo o Teste da Série Alternada, para que uma série alternada
sum (-1)^n an
converja, é necessário que:
  1. seja decrescente:
No nosso caso, vimos que . Portanto, o critério não é satisfeito.

Passo 7

Como o limite dos termos não é zero, pela regra básica para séries, se , a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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