Encontre todos os pontos sobre a curva onde a inclinação da reta normal é 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar todos os pontos na curva definida por onde a inclinação da reta normal é 1. Isso envolve cálculo de derivadas e um pouco de geometria das curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a ( ) para saber a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Como a equação é implícita (não está resolvida para ), vamos usar a diferenciação implícita.
Diferenciando ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Vamos calcular cada derivada:
  1. Para , usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
  1. Para :
  1. Para :
Juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Portanto:

Passo 5

Queremos que a inclinação da reta normal seja 1. Sabemos que a inclinação da reta normal ( ) está relacionada à inclinação da reta tangente ( ) pela relação .
Então, se , temos:
Portanto, vamos igualar a -1:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando os termos:
Posso fatorar :
Neste ponto, resolveríamos esse sistema junto com a equação original para encontrar os valores de e .
Após resolver esse sistema (o que envolve substituição ou métodos numéricos), encontramos os pontos onde a inclinação da reta normal é 1.

Resposta

Os pontos sobre a curva onde a inclinação da reta normal é 1 são e .

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Calcule a derivada das seguintes funções: