Encontre todos os pontos sobre a curva
onde a inclinação da reta normal é 1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar todos os pontos na curva definida por
onde a inclinação da reta normal é 1. Isso envolve cálculo de derivadas e um pouco de geometria das curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
(
) para saber a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Como a equação é implícita (não está resolvida para
), vamos usar a diferenciação implícita.
Diferenciando ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada:
- Para
, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
- Para
:
- Para
:
Juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Portanto:
Passo 5
Queremos que a inclinação da reta normal seja 1. Sabemos que a inclinação da reta normal (
) está relacionada à inclinação da reta tangente (
) pela relação
.
Então, se
, temos:
Portanto, vamos igualar
a -1:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando os termos:
Posso fatorar
:
Neste ponto, resolveríamos esse sistema junto com a equação original
para encontrar os valores de
e
.
Após resolver esse sistema (o que envolve substituição ou métodos numéricos), encontramos os pontos onde a inclinação da reta normal é 1.
Resposta
Os pontos sobre a curva
onde a inclinação da reta normal é 1 são
e
.
Exercícios relacionados
Encontre
sendo
.
Encontre o domínio de
sendo
.
Determine se a série converge ou diverge.
Calcule a derivada das seguintes funções: