Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que descobrir se a série infinita
converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de séries matemáticas, e para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a série em questão com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no comportamento dos termos da série quando
fica bem grande. Olhando para o numerador
e o denominador
, percebemos que, para valores grandes de
, os termos de maior grau são
no numerador e
no denominador. Então, podemos simplificar a expressão dominando esses termos, ficando aproximadamente:
Isso nos dá uma ideia de como os termos se comportam para
grande.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma série com a qual comparar. A série
é conhecida como a série harmônica, e sabemos que ela diverge, ou seja, não soma para um número finito. Vamos usar essa série como nossa comparação (
).
Passo 4
Vamos aplicar o Teste de Comparação Limite. Calculamos o limite da razão entre os termos da nossa série (
) e os termos da série de comparação (
):
Dividindo todos os termos por
:
Como esse limite é um número positivo e finito (no caso, 1), e a série de comparação
diverge, a nossa série original também diverge pelo Teste de Comparação.
Resposta
A série diverge.
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Resolva as seguintes P.V.I.
Determine se a série converge ou diverge.
Determine a equação da reta
b) de inclinação -3 , passando pelo ponto ;
b) de inclinação -3 , passando pelo ponto
Resolva as seguintes P.V.I.