Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty n+3n^2+2 n+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que descobrir se a série infinita sumn=1^infty n+3n^2+2n+5 converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de séries matemáticas, e para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a série em questão com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no comportamento dos termos da série quando nn^2 = 1n fica bem grande. Olhando para o numerador e o denominador , percebemos que, para valores grandes de , os termos de maior grau são no numerador e no denominador. Então, podemos simplificar a expressão dominando esses termos, ficando aproximadamente:
Isso nos dá uma ideia de como os termos se comportam para grande.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série com a qual comparar. A série é conhecida como a série harmônica, e sabemos que ela diverge, ou seja, não soma para um número finito. Vamos usar essa série como nossa comparação ( ).

Passo 4

Vamos aplicar o Teste de Comparação Limite. Calculamos o limite da razão entre os termos da nossa série ( limn to infty anbn = limn to infty n+3n^2 + 2n +51n = limn to infty n(n+3)n^2 + 2n +5 = limn to infty n^2 + 3nn^2 + 2n +5 ) e os termos da série de comparação ( limn to infty 1 + 3n1 + 2n + 5n^2 = 1 + 01 + 0 + 0 = 1 ):
Dividindo todos os termos por :
Como esse limite é um número positivo e finito (no caso, 1), e a série de comparação diverge, a nossa série original também diverge pelo Teste de Comparação.

Resposta

A série diverge.

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