Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial. Especificamente, temos:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver isso. Não se preocupe se isso parece complicado agora, vamos passo a passo entender o que significa e como aplicar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para obter:
Essa forma é útil porque se parece com a forma padrão de uma equação exata, que é:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais cruzadas de e . Ou seja, vamos calcular:
Calculando :
Calculando :
Observamos que:
Isso confirma que a equação é exata, o que significa que existe uma função tal que:
Passo 4
Nosso próximo passo é encontrar essa função . Para isso, integramos em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de . Vamos calcular:
Aqui, tratamos como constante durante a integração em relação a .
Passo 5
Para integrar , fazemos uma substituição simples. Vamos definir , então . Isso simplifica a integral:
Então, nossa função fica:
Passo 6
Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Então,
Subtraindo de ambos os lados:
Integrando em relação a :
Passo 7
Agora, substituímos de volta na expressão de :
Como , podemos escrever a solução geral da equação diferencial como:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: