Use testes para verificação de convergência e divergência.
. (diverge-teste da divergência.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar a convergência ou divergência da série infinita
usando testes de convergência, especificamente o teste da divergência. Vamos precisar entender o que é uma série infinita, o que significa ela convergir ou divergir, e como aplicar o teste da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da divergência (ou teste do termo geral). Esse teste nos diz que se o limite do termo geral da série, quando
tende ao infinito, não for zero, então a série diverge. Em outras palavras, se
, a série
não converge.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
Precisamos calcular o limite desse termo quando
tende ao infinito.
Passo 4
Vamos calcular
:
Primeiro, observamos que
quando
cresce fica:
Então, o limite se torna:
Passo 5
Agora, analisando
, vemos que para cada valor de
:
- Se
é ímpar, - Se
é par,
Portanto, o termo
alterna entre 1 e -1 conforme
aumenta, ou seja, o limite não existe porque não se estabiliza em um único valor.
Passo 6
Como o limite do termo geral não existe (não é igual a zero), de acordo com o teste da divergência, podemos concluir que a série não converge.
Resposta
A série
diverge pelo teste da divergência.
Exercícios relacionados
Determine se a série converge ou diverge:
. (diverge.)
Determine se a série converge ou diverge:
. (diverge.)
Esboce o gráfico e determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Elimine o módulo (criando funções definidas por partes), determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções: