Use testes para verificação de convergência e divergência.
. (diverge-teste da divergência.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar a convergência ou divergência da série infinita usando testes de convergência, especificamente o teste da divergência. Vamos precisar entender o que é uma série infinita, o que significa ela convergir ou divergir, e como aplicar o teste da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da divergência (ou teste do termo geral). Esse teste nos diz que se o limite do termo geral da série, quando tende ao infinito, não for zero, então a série diverge. Em outras palavras, se , a série não converge.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
Precisamos calcular o limite desse termo quando tende ao infinito.

Passo 4

Vamos calcular :
Primeiro, observamos que quando cresce fica:
Então, o limite se torna:

Passo 5

Agora, analisando , vemos que para cada valor de :
  • Se é ímpar,
  • Se é par,
Portanto, o termo alterna entre 1 e -1 conforme aumenta, ou seja, o limite não existe porque não se estabiliza em um único valor.

Passo 6

Como o limite do termo geral não existe (não é igual a zero), de acordo com o teste da divergência, podemos concluir que a série não converge.

Resposta

A série diverge pelo teste da divergência.

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. (diverge.)
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. (diverge.)
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