Esboce o gráfico e determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçar o gráfico da função
e determinar seu domínio e imagem. O conteúdo que vamos utilizar é o estudo das funções trigonométricas, especificamente o cosseno, e conceitos de domínio e imagem de funções. Precisaremos entender como a amplitude e a verticalidade da função cosseno são afetadas pelos coeficientes na expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o gráfico básico que estamos manipulando. A função
é uma função trigonométrica que oscila entre 1 e -1, com um período de
.
Passo 3
Agora, observamos o coeficiente que está multiplicando o cosseno na nossa função, que é 3. Isso afeta a amplitude da função. A amplitude é a distância máxima que a função atinge a partir do eixo central. Multiplicando o cosseno por 3, a amplitude da função passa a ser 3 em vez de 1. Isso significa que a função oscilará entre 3 e -3.
Passo 4
Em seguida, temos o termo -2 na função. Esse é um deslocamento vertical. Subtrair 2 desloca todo o gráfico da função para baixo em 2 unidades. Portanto, o eixo central agora está em -2 em vez de 0.
Passo 5
Com essas informações, podemos determinar o domínio e a imagem da função:
- Domínio: O conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como a função cosseno está definida para todos os números reais, o domínio de é (todos os reais). - Imagem: O conjunto de todos os valores que a função pode assumir. A amplitude é 3, e o deslocamento é -2, então os valores vão de
até . Logo, a imagem é .
Passo 6
Por fim, para esboçar o gráfico:
- O gráfico será uma curva de cosseno mais alta (amplitude 3) e deslocada 2 unidades para baixo.
- Inicia no ponto
porque . - A partir daí, a função oscilará até o ponto mais alto em 1 e o mais baixo em -5, repetindo esse padrão a cada
.
Resposta
O domínio da função
é
e a imagem é
. O gráfico é uma função cosseno com amplitude 3, deslocada 2 unidades para baixo.
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.)