Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Isso significa que queremos saber se a soma infinita dos termos dessa série resulta em um número finito ou não. Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação e o conceito de séries p, que são ferramentas da matemática para analisar esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor como ele se comporta quando
cresce. O termo geral é
. Quando
fica bem grande, o “+4” no denominador se torna menos relevante, então podemos aproximar esse termo por
.
Simplificando mais, temos:
Então, para valores grandes de
, o termo da nossa série é aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série
. Essa é uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, então a série
diverge.
Passo 4
Para confirmar a comparação, usamos o Teste de Limite Comparativo. Vamos calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries quando
tende ao infinito:
Como esse limite é um número finito diferente de zero, o teste de comparação nos diz que as duas séries se comportam da mesma forma em termos de convergência.
Passo 5
Já que a série
diverge e nosso teste mostrou que a série original se comporta da mesma forma, podemos concluir que a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Seja
dada por
. Calcule e simplifique:
h)
h)
Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
d) Usando a solução do item ©, faça a mudança de variável e explicite a solução da equação de Bernoulli.
d) Usando a solução do item ©, faça a mudança de variável
Obtenha a solução geral
Seja
dada por
Calcule e simplifique:
a) ,
a)