Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty raiznn+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Isso significa que queremos saber se a soma infinita dos termos dessa série resulta em um número finito ou não. Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação e o conceito de séries p, que são ferramentas da matemática para analisar esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor como ele se comporta quando raiznn = n^1/2n = 1n^1/2 = 1raizn cresce. O termo geral é . Quando fica bem grande, o “+4” no denominador se torna menos relevante, então podemos aproximar esse termo por .
Simplificando mais, temos:
Então, para valores grandes de , o termo da nossa série é aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . No nosso caso, , então a série diverge.

Passo 4

Para confirmar a comparação, usamos o Teste de Limite Comparativo. Vamos calcular o limite do quociente entre os termos das duas séries quando limn to infty raiznn+41raizn = limn to infty raizn cdot raiznn+4 = limn to infty nn+4 = limn to infty 11+4n = 1 tende ao infinito:
Como esse limite é um número finito diferente de zero, o teste de comparação nos diz que as duas séries se comportam da mesma forma em termos de convergência.

Passo 5

Já que a série diverge e nosso teste mostrou que a série original se comporta da mesma forma, podemos concluir que a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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