Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
d) Usando a solução do item ©, faça a mudança de variável
e explicite a solução da equação de Bernoulli.
d) Usando a solução do item ©, faça a mudança de variável
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Equação de Bernoulli. A gente vai usar uma mudança de variável
para transformar a equação original em uma forma mais simples. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais e como mudanças de variável podem ajudar a resolver equações não-lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de Bernoulli que estamos lidando:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
e
são funções de
. A presença do termo
torna a equação não-linear, o que complica um pouco as coisas.
Passo 3
Para simplificar, a ideia é fazer uma mudança de variável. Vamos definir uma nova função
tal que:
Essa substituição vai nos ajudar a transformar a equação original em uma equação linear em termos de
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
usando a nova variável
. Vamos calcular
:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original de Bernoulli:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
Vamos dividir toda a equação por
para simplificar:
Perceba que houve um erro aqui. Vamos corrigir.
Na verdade, após substituir, a equação fica:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os expoentes negativos:
Passo 7
Agora, a equação ficou linear em termos de
:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 8
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Resolvendo para
:
Passo 11
Lembrando que
, substituímos
de volta:
Resposta
A solução da equação de Bernoulli é:
Onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Seja
dada por
. Calcule e simplifique:
g)
g)
Seja
dada por
. Calcule e simplifique:
f)
f)
Seja
dada por
. Calcule e simplifique:
h)
h)
Determine se a série converge ou diverge.