Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
d) Usando a solução do item ©, faça a mudança de variável e explicite a solução da equação de Bernoulli.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Equação de Bernoulli. A gente vai usar uma mudança de variável para transformar a equação original em uma forma mais simples. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais e como mudanças de variável podem ajudar a resolver equações não-lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Bernoulli que estamos lidando:
Aqui, é a derivada de em relação a , e e são funções de . A presença do termo torna a equação não-linear, o que complica um pouco as coisas.

Passo 3

Para simplificar, a ideia é fazer uma mudança de variável. Vamos definir uma nova função tal que:
Essa substituição vai nos ajudar a transformar a equação original em uma equação linear em termos de .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a usando a nova variável . Vamos calcular :

Passo 5

Substituímos e na equação original de Bernoulli:
Simplificando o lado direito:

Passo 6

Vamos dividir toda a equação por para simplificar:
Perceba que houve um erro aqui. Vamos corrigir.
Na verdade, após substituir, a equação fica:
Multiplicando todos os termos por para eliminar os expoentes negativos:

Passo 7

Agora, a equação ficou linear em termos de :
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 8

O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Resolvendo para :

Passo 11

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução da equação de Bernoulli é:
Onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados

Seja dada por . Calcule e simplifique:
g)
Seja dada por . Calcule e simplifique:
f)
Seja dada por . Calcule e simplifique:
h)
Determine se a série converge ou diverge.