Determine se a série converge ou diverge. Tente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite.
sumn=1^infty n!n^n.

Passo 1

Neste exercício, precisamos determinar se a série converge ou diverge. Vamos usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite. Para isso, vamos lembrar dos conceitos de séries infinitas e dos testes de convergência por comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é . Observamos que tanto o numerador quanto o denominador crescem à medida que aumenta, mas precisamos entender qual cresce mais rápido para saber o comportamento da série.

Passo 3

Vamos comparar com uma série conhecida que sabemos que converge. Uma boa escolha é a série , que é uma série p com e sabemos que ela converge porque .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se é menor ou igual a para valores grandes de . Observando os termos, vemos que cresce muito mais rapidamente do que , o que faz com que seja menor que para suficientemente grande.

Passo 5

Como para grande e a série converge, pelo teste da comparação direta, podemos concluir que a série também converge.

Resposta

A série converge.

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