Determine se a série converge ou diverge. Tente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite.
.
Passo 1
Neste exercício, precisamos determinar se a série
converge ou diverge. Vamos usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite. Para isso, vamos lembrar dos conceitos de séries infinitas e dos testes de convergência por comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é
. Observamos que tanto o numerador
quanto o denominador
crescem à medida que
aumenta, mas precisamos entender qual cresce mais rápido para saber o comportamento da série.
Passo 3
Vamos comparar
com uma série conhecida que sabemos que converge. Uma boa escolha é a série
, que é uma série p com
e sabemos que ela converge porque
.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se
é menor ou igual a
para valores grandes de
. Observando os termos, vemos que
cresce muito mais rapidamente do que
, o que faz com que
seja menor que
para
suficientemente grande.
Passo 5
Como
para
grande e a série
converge, pelo teste da comparação direta, podemos concluir que a série
também converge.
Resposta
A série
converge.