Determine se a série converge ou diverge. Tente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série converge ou diverge. Vamo usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite. Isso tudo está relacionado a séries infinitas e aos testes de comparação que ajudam a determinar o comportamento dessas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Para facilitar a comparação, vamos simplificar esse termo. Observamos que, quando cresce, domina o 3 no denominador, então podemos aproximar .

Passo 3

Vamos reescrever como . Isso é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se e diverge se .

Passo 4

No nosso caso, , então a série geométrica converge. Como para todo , e a série que estamos comparando converge, pelo teste da comparação direta, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Determine se a série converge ou diverge. Tente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite.
.
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
.
A distribuição etária dos moradores de San Ysidro, Novo México, encontra-se na tabela a seguir.(Fonte: U.S. Census Bureau.)
Idades Frequência,
38
20
31
53
36
acima de 75 15
Encontre as probabilidades a seguir dos eventos:
a) Evento A: escolher aleatoriamente um morador que não tenha de 15 a 29 anos.
b) Evento B: escolher aleatoriamente um morador que não tenha de 45 a 59 anos.
c) Evento C: escolher aleatoriamente um morador que não tenha 14 anos ou menos.
d) Evento D: escolher aleatoriamente um morador que não tenha acima de 75 anos.
Você seleciona uma carta de um baralho. Encontre a probabilidade de a carta ser um 4 ou um ás.