Determine se a série converge ou diverge. Tente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite.
sumn=1^infty 9^n3+10^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série converge ou diverge. Vamo usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite. Isso tudo está relacionado a séries infinitas e aos testes de comparação que ajudam a determinar o comportamento dessas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Para facilitar a comparação, vamos simplificar esse termo. Observamos que, quando cresce, domina o 3 no denominador, então podemos aproximar .

Passo 3

Vamos reescrever como . Isso é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se e diverge se .

Passo 4

No nosso caso, , então a série geométrica converge. Como para todo , e a série que estamos comparando converge, pelo teste da comparação direta, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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