Determine se a série converge ou diverge. Tente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a série
converge ou diverge. Vamo usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite. Isso tudo está relacionado a séries infinitas e aos testes de comparação que ajudam a determinar o comportamento dessas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Para facilitar a comparação, vamos simplificar esse termo. Observamos que, quando
cresce,
domina o 3 no denominador, então podemos aproximar
.
Passo 3
Vamos reescrever
como
. Isso é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica
converge se
e diverge se
.
Passo 4
No nosso caso,
, então a série geométrica
converge. Como
para todo
, e a série que estamos comparando converge, pelo teste da comparação direta, a série original também converge.
Resposta
A série
converge.