Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, também precisamos calcular a soma dela. Vamos trabalhar com o conteúdo de Séries Infinitas e, para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série, que é . A função arco-tangente, , se aproxima de quando tende ao infinito. Ou seja:

Passo 3

Agora, para saber se a série converge ou diverge, usamos o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral não for zero, a série não converge. No nosso caso, o limite de é , que não é zero. Portanto, pela regra, a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados

Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (soma em que os termos se cancelam aos pares, por exemplo, vimos que a série é um exemplo de série telescópica). Se ela for convergente, calcule sua soma.
.
Para a instalação mostrada na figura, determine:
a) As velocidades de sucção e recalque.
b) As pressões na entrada e na saída da bomba.
Dados: , dsuc , drec , litros .
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
.
Determine se a série converge ou diverge. Tente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite.
.