Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty arctan n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a série sumn=1^infty arctan n é convergente ou divergente. Se ela for convergente, também precisamos calcular a soma dela. Vamos trabalhar com o conteúdo de Séries Infinitas e, para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série, que é limn to infty arctan n = pi2 . A função arco-tangente, , se aproxima de quando tende ao infinito. Ou seja:

Passo 3

Agora, para saber se a série converge ou diverge, usamos o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral não for zero, a série não converge. No nosso caso, o limite de é , que não é zero. Portanto, pela regra, a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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