Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se ela for convergente, também precisamos calcular a soma dela. Vamos trabalhar com o conteúdo de Séries Infinitas e, para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série, que é
. A função arco-tangente,
, se aproxima de
quando
tende ao infinito. Ou seja:
Passo 3
Agora, para saber se a série converge ou diverge, usamos o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral não for zero, a série não converge. No nosso caso, o limite de
é
, que não é zero. Portanto, pela regra, a série diverge.
Resposta
A série é divergente.