Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar o Teste da Integral e determinar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, precisamos entender o que é o Teste da Integral e como aplicá-lo a essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste é utilizado para verificar a convergência ou divergência de séries infinitas. Ele funciona da seguinte forma:
Se
for uma função positiva, contínua e decrescente para
(onde
é algum número natural), então a série
e a integral
convergem ou divergem juntas.
Ou seja, se a integral
convergir, a série também converge, e se a integral divergir, a série diverge.
Passo 3
Agora, vamos identificar a função
na nossa série:
Precisamos verificar se essa função atende aos critérios do Teste da Integral:
-
Positiva:
é sempre positiva para e também é positiva, então é positiva. -
Contínua: A função
é contínua para . -
Decrescente: Vamos analisar se
é decrescente. Derivando :
Para
,
aumenta e
torna o numerador negativo, o que indica que
é decrescente.
Portanto, a função
atende a todas as condições necessárias para aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Vamos então calcular a integral imprópria correspondente:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos definir:
Então, a integral fica:
Que é uma integral simples de
.
Passo 5
Resolvendo a integral:
Substituindo de volta
:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração de 1 a infinito:
Sabemos que:
-
tende a quando -
Então:
Resposta
Como a integral
converge para
, pelo Teste da Integral, a série
também converge.
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Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
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Determine se a série é convergente ou divergente expressando
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é um exemplo de série telescópica). Se ela for convergente, calcule sua soma.
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Determine se a série converge ou diverge. Tente usar o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite.
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