Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty arctan n1+n^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar o Teste da Integral e determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, precisamos entender o que é o Teste da Integral e como aplicá-lo a essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste é utilizado para verificar a convergência ou divergência de séries infinitas. Ele funciona da seguinte forma:
Se for uma função positiva, contínua e decrescente para (onde é algum número natural), então a série e a integral convergem ou divergem juntas.
Ou seja, se a integral convergir, a série também converge, e se a integral divergir, a série diverge.

Passo 3

Agora, vamos identificar a função f(n) = arctan n1 + n^2 na nossa série:
f'(x) = (1/(1 + x^2)) cdot (1 + x^2) - arctan x cdot 2x(1 + x^2)^2 = 1 - 2x arctan x(1 + x^2)^2
Precisamos verificar se essa função atende aos critérios do Teste da Integral:
  1. Positiva: é sempre positiva para e também é positiva, então é positiva.
  2. Contínua: A função é contínua para .
  3. Decrescente: Vamos analisar se é decrescente. Derivando :
Para , aumenta e torna o numerador negativo, o que indica que é decrescente.
Portanto, a função atende a todas as condições necessárias para aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Vamos então calcular a integral imprópria correspondente:
integral1^infty arctan x1 + x^2 , dx
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos definir:
u = arctan x
du = 11 + x^2 , dx
Então, a integral fica:
integral u , du
Que é uma integral simples de .

Passo 5

Resolvendo a integral:
integral u , du = u^22 + C
Substituindo de volta (arctan x)^22 :
limb to infty ( (arctan b)^22 - (arctan 1)^22 )
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração de 1 a infinito:
(pi2)^22 - (pi4)^22 = pi^28 - pi^232 = 3pi^232
Sabemos que:
  • tende a quando
Então:

Resposta

Como a integral converge para , pelo Teste da Integral, a série também converge.

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