Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial de primeira ordem linear:

Vamos resolver usando a definição de diferencial e o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Para isso, vamos precisar integrar o lado direito da equação em relação a .

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação para encontrar :

Agora, precisamos calcular essa integral. Para simplificar, vamos usar a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Vamos decompor a fração:

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de , e .
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para encontrar , podemos expandir e comparar os coeficientes. Expandindo o lado direito:

    Agrupando termos:
    Igualando aos coeficientes do lado esquerdo :
    • :
    • :
    • Termo constante:
    Já sabemos que e , substituindo na primeira equação:

Passo 5

Agora que temos , e , substituímos de volta na decomposição:

Simplificando:
Agora, integramos cada termo separadamente:
Juntando tudo:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de onde possa garantir que isso aconteça.
Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
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