Usando a definição de diferencial e o TFC para integrais não definidas cálcule a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, temos uma equação diferencial de primeira ordem linear:
Vamos resolver usando a definição de diferencial e o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Para isso, vamos precisar integrar o lado direito da equação em relação a
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a equação para encontrar
:
Agora, precisamos calcular essa integral. Para simplificar, vamos usar a decomposição em frações parciais.
Passo 3
Vamos decompor a fração:
Multiplicando ambos os lados por
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
.
-
Para
: -
Para
: -
Para encontrar
, podemos expandir e comparar os coeficientes. Expandindo o lado direito:
Agrupando termos:
Igualando aos coeficientes do lado esquerdo: -
: -
: - Termo constante:
Já sabemos quee , substituindo na primeira equação: -
Passo 5
Agora que temos
,
e
, substituímos de volta na decomposição:
Simplificando:
Agora, integramos cada termo separadamente:
Juntando tudo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Determine se a série converge ou diverge (teste da razão, teste da raiz).
Verifique se cada problema abaixo, são problemas de Cauchy(SEM RESOLVER), estude a existência e unicidade de soluções. Em caso de ser problema de Cauchy, determine UM subconjunto aberto de
onde possa garantir que isso aconteça.
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